Chapter8_2_单步法的收敛性和稳定性.ppt

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1、在讨论收敛性之前，先介绍局部截断误差、整体截断误差的定义及其他们之间的关系8.1.3单步法的收敛性和稳定性(ConvergencyandStability)一、单步法的收敛性求解初值问题的一般显式单步法可以写成如下形式：1、局部截断误差定义在假设yi=y(xi)，即第i步计算是精确的前提下，考虑的截断误差Ri=y(xi+1)yi+1称为局部截断误差/*localtruncationerror*/。假定“yi=y(xi)”称为局部化假定2、整体截断误差3、局部截断误差与整体截断误差的关系再利用引理1就可得

2、到结论：若单步法的局部截断误差为O（hP+1)整体截断误差为O（hP)条件：满足Lipschitz条件定义若某算法对于任意固定的x=xi=x0+ih，当h0(同时i)时有yiy(xi)，则称该算法是收敛的。单步法的收敛性定义结论1：收敛整体截断误差Ei0结论2：只要单步法(35)式是高于零阶的方法，判断单步法(35)式的收敛性就归结为验证其增量函数(x,y,h)是否满足对y的Lipschitz条件例5Euler方法是收敛的.证明：由于Euler方法是一阶方法，且其增量函数(x,y,h)=f(x,

3、y)．而初值问题是要求函数f(x,y)对y满足Lipschitz条件的，故Euler方法收敛.例6改进Euler方法是收敛的.证明改进Euler方法是二阶方法，其增量函数为下面证明，当f(x,y)满足对y的Lipschitz条件时，(42)式中的(x,y,h)也满足对y的Lipschitz条件.由(42)式有假定hh0(h0为定数)，并记，则有即(x,y,h)满足对y的Lipschitz条件，故改进的Euler方法是收敛的.二、单步法的稳定性上面讨论单步法的收敛性，是假定(35)式的每一步计算都是准确

4、的，即不考虑计算中的舍入误差．然而这一假定是不切合实际的，用(35)式进行实际数值计算时，每一步都不可避免地含有舍入误差稳定性就是讨论计算过程中的舍入误差对最终结果的影响！定义4如果一种数值方法在节点xi的值yi有大小为i的扰动，而由这个扰动引起以后各节点上值yi(j>i)的偏差j均满足

5、j

6、≤

7、i

8、，则称该数值方法是绝对稳定的.考虑一般的单步法(35)式．若值yi有一个扰动i，那么用(35)式计算，得到的值yi+1就会产生一个偏差i+1．若记则可将yi+1视为单步法公式的准确结果用(43)式减

9、去(35)式，得或由此可知，单步法(35)式绝对稳定的条件是由于增量函数与微分方程的右端f有关，从而给考察单步法的稳定性带来了困难．为了简化讨论，通常是用试验方程y’=y(为复常数)来检验数值方法的稳定性！（1）首先考察Euler方法的稳定性．此时增量函数(x,y,h)=f(x,y)=y，因而有因此对于试验方程(46)，Euler方法稳定的条件是

10、1+

11、1(47)由于可以是复数，故在h的平面上，(47)式表示以点-1为中心的单位圆及其内部区域．这个区域称为Euler方法的绝对稳定区域．（2）讨

12、论改进Euler方法的稳定性．此时增量函数改进Euler方法的稳定性条件为（3）经典Runge-Kutta方法的稳定性．此时增量函数代入后得于是有由此得出经典Runge-Kutta方法的稳定性条件为如果仅限于讨论是实数的情形，则上述几个单步法的稳定性条件可分别简化为Euler法稳定性条件：−2h0，改进Euler法稳定性条件：−2h0，经典Runge-Kutta法稳定性条件：−2.785h0.由上面的讨论可以看到，如果方法的绝对稳定区域或区间是有限的，那么，步长h的选取要受绝对稳定性的约

13、束.例7对初值问题取h=0.1和0.2，用经典Runge-Kutta方法求解.解本例中=−20,h分别为-2和-4．前者属绝对稳定区间[-2.785,0]，后者不属此区间．问题的准确解为y=e−20x．计算结果误差见表8-6隐式单步法的稳定性讨论.（1）考察向后Euler方法.对于试验方程(46)，其向后Euler法的公式为yi+1=yi+hyi+1解出yi+1，有，从而得到误差(扰动)公式为由此得到绝对稳定的条件为其绝对稳定区域是以1为半径、以1为中心的圆外部，如图8-5所示.（2）讨论梯形法的稳定

14、性．对于试验方程(46)，相应的梯形法公式为解出yi+1，有由此得出绝对稳定的条件为其绝对稳定区域为Re(h)0的整个复平面．当为实数时，其绝对稳定区间为−<h0.从以上的分析讨论可以看到，隐式方法的稳定性比显式方法好，这也是隐式方法的主要优点！8.1.4线性多步法求解初值问题的数值方法都是“步进式”的，即求解过程从初值y0开始，顺着节点的排列次序，一步一步地向前推进．所以，在计算yi+1时，前面的i