收敛性稳定性RK方法课件.ppt

《收敛性稳定性RK方法课件.ppt》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、以上我们讨论了求解问题（7-1）,（7-2）的单步法和多步法。应关注三个问题：、数值方法的局部截断误差和阶二、在离散点tn处的数值解un是否收敛到精确解u(tn)三、数值方法的稳定性具体说，对于上述两类方法求近似解（数值解）还误差估计、收敛性和稳定性。对于第一个问题前面我们已经讨论过，而关于数值方法收敛性问题我们在这里不详细讨论，只给出一些基本结论性的结果，即：对单步法，当方法的阶p≥1时，有整体误差故有，因此方法是收敛的。对于多步法，若方法是k步p阶法，那么（7-24）是一个k阶差分方程，引入多步法（7-24）的第一特征多项式和第二特征多项式

2、：定义7.1若（7-24）的第一特征多项式ρ(λ)的所有根在单位圆内或圆上（︱λ︱≤1），且位于单位圆周上的根都是单根，称多步法（7-24）满足根条件。第二特征多项式第一特征多项式定理7.2若线性多步法(7-24)的阶p≥1，且满足根条件，则方法是收敛的。对于常用的数值方法都是满足收敛性条件的。下面我们着重讨论第三个问题，即数值方法的稳是有误差的，且这些误差将在计算中传递下去。定性问题。误差积累无限增长，则会歪曲真解，这样的算法是不如果能用的。用多步法计算时，各种因素如初值精确解为考虑二步三阶显式法：例如初值问题取步长h=0.1，初值u0=1，

3、附加值：精确解数值解01.00000001.00000000.11.02010001.02010000.21.08160001.08120000.31.18810001.18923850.41.34560001.33886600.51.56250001.5929935………1.04.0000000-68.6398041.04.8841000+367.26392………2.025.0000000-6.96×108数值结果表在开始几步数值解与精确解符合，但在再往后算，数值解的误差则急剧增长，完全歪曲了真解.通常人们都是通过模型方程来讨论方法的数值稳定

4、性。(7-32)而一般形式的一阶微分方程总能化成（7-32）的形式。。因为实际计算时，h是固定的。当某一步un有舍入误差时，若以后的计算中不会逐步扩大，称这种稳定性为绝对稳定性。此后，若不做特殊说明，都是指绝对稳定性。模型方程为：本书中数值方法的稳定性也是如此。前提是求解好条件问题，其中Re(μ)＜0。另外，我们也不考虑h→0时方法的渐近稳定性例如，对最简单的Euler法(7-33)用其求解模型方程（7-32）得到当un有舍入误差时，其近似解为，从而有取，得到误差传播方程记，只要都不会恶性发展，此时方法绝对稳定。，则显式Euler方法的解和误差

5、从可得即时，(-1,0)为圆心，1为半径的单位圆。又由于实数μ＜0，（7-33）绝对稳定，若μ为复数，在的复平面上，则表示为以绝对稳定区域绝对稳定区间定义7.2一个数值方法用于求解模型问题（7-32），若在平面中的某一区域D中方法都是绝对稳定的，而在区域D外，方法是不稳定的，则称D是方法的绝对稳定区域；绝对稳定区间。它与实轴的交称为例如，显式Euler方法的绝对稳定区域、区间。如图现在考察多步法(7-24)，将它用于解模型方程(7-32)得到k阶线性差分方程(7-34)若取，则记（7-34）的特征方程为(7-35)其中由k阶线性差分方程的性质我

6、们可以得到如下结论，区域：例如，对于k=1时，考虑隐式方法中最简单的后退Euler法方程（7-35）的根都在单位圆内（︱λ︱＜1)，则线性多步法（7-4）关于绝对稳定,其绝对稳定域是复平面上的其特征方程为：若特征得当时，故就是隐式Euler法的绝对稳定区域。当μ＜0为实数时，绝对稳定区间为(-∞,0)。平面上以（1.0）为圆心的单位圆外区域。它是当Reμ＜0时，它位于平面上y轴左侧区域。又如，梯形法其特征方程为：其根当Reμ＜0时，故梯形公式平面的左半平面。绝对稳定区间为(-∞，0)。的绝对稳定域是这样检验绝对稳定性归结为检验特征方程(7-35

7、)的根是否在单位圆内（︱λ︱＜1)。对此有很多判别法，如Schur准则、轨迹法。k=1～4的隐式Adams类方法的绝对稳定区间（μ＜0为实数）。步阶绝对稳定区间12（-∞，0）23（-6.0，0）34（-3.0，0）45（-1.8，0）实系数二次方程λ2-bλ-c=0的根在单位圆内的充要条件为:这里我们给出一种简单的、常用的判别法：例证明求解一阶常微分方程初值问题：的差分格式收敛并求其局部截断误差主项、绝对稳定区间。解：由差分格式可知，则其特征值满足根条件。令得λ1=0,λ2=1。故此为隐式二步三阶法，其局部截断误差主项为：注意，从而由定理7.

8、2可知，此方法收敛。而自然成立。得即有可得其绝对稳定区间：又其特征方程为而使得︱λ︱＜1的充要条件为：现在再由进一步而自然成立。显式Runge-Kut