有限差分方法24差分方程的相容性收敛性和稳定性课件.ppt

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1、计算力学基础第二章有限差分方法2.4差分方程的相容性、收敛性和稳定性一个微分方程采用不同的方法可以得到不同的差分方程。那么，我们要问，对于这些不同的差分方程是否都同样有效，同样可靠，而且能得到同样的计算结果呢？答案是否定的。事实上，不同的差分方程和原方程有完全不同的对应关系，它们具有各自不同的性质，因此，数值结果也完全不同。在这些差分方程中有些差分方程是有效的、可靠的；些差分方程只有在一定的条件下是有效的、可靠的；有些差分方程则是完全无效的、不可靠的。所以，如何判断和分析差分方程有效性和可靠性就成为非常必要和现实的问题了。在这一节中我们首先对差分方程有效性的一些基本概念（如相容性、收敛

2、性、稳定性）作简单介绍，为本章以后各节的分析讨论奠定基础。差分方程相容性是讨论当时，差分方程逼近于微分方程的程度，因此，相容性是讨论差分方程和微分方程的关系。定义：对于一足够光滑函数，若时间步长，空间步长趋近于0时，差分方程截断误差对于每一点都趋近于0，则该差分方程逼近微分方程，即差分方程与微分方程是相容的。差分方程相容性可以通过Taylor展开方法来证明。例如，扩散方程的FTCS差分格式为：2.4.1相容性（Consistency）把作为t的函数，在邻域展开成Taylor级数，把和作为x的函数，在邻域展开成Taylor级数：将代入FTCS格式中，即可得到：、和当时，上等式右侧所有项都

3、趋近0，差分方程趋近于原微分方程，即FTCS差分方程和原方程是相容的。关于差分方程相容性需要作以下说明：相容性是对求解区域内任意一点差分方程逼近于微分方程的程度，相容性是有限差分算法（包括有限体积算法）首先必须满足的有效性条件。相容性要求对于求解区域内任意点，在同时趋近于0，截断误差趋近于0。如果不是同时趋近于0或并不趋近于0，而是趋近于某值，或结论并不是对每个点都成立，则差分方程就不满足相容性条件，差分方程也就不逼近于微分方程。相容性条件不仅要求差分方程截断误差趋近于0，而且要求差分方程定解条件截断误差也同时趋近于0。差分格式有两种不同形式的相容性，即无条件相容和有条件相容。2.4.

4、2收敛性（Convergence）差分方程收敛性是讨论当时，差分方程的解和微分方程的解是否一致性的问题，也就是讨论差分方程的解和微分方程的解的逼近程度。定义1：差分方程　　　　的数值解为　　，微分方程的精确解为　　，它们之间的误差用　　表示，则　　　　　　　称为离散化误差。定义2：节点　　　为微分方程求解区域　　内任意一点，当当　　　　　　　　时，差分方程数值解　　趋近于微分方程精确解　　，即　　　　　　　，则差分方程收敛于微分方程。差分方程收敛性有两种证明方法，直接证明法和数值试验法。一、直接证明法对流方程的FTBS差分格式为：(a)设求解区域内任意一点，，它的微分方程精确解为u，差

5、分方程解为，则离散化误差为，把差分方程和微分方程相减可得离散化误差方程：(b)由（b）式可以看出离散化误差方程在形式上和差分方程是完全相同的，由此可以得到：设a≥0，≤1，则0≤≤1，于是有：(c)式中表示在n层的所有节点上离散化误差绝对值最大值，对于所有节点j有：于是有：…由此可得到：(d)在t=0时，差分方程的初始条件应该是完全准确的，即：即：即差分方程离散化误差和截断误差是相同数量级，因此，若→0，则：(f)由此可知，FTBS格式在a＞0，时，是收敛的。(e)二、数值试验法数值试验法基本思想是用差分方程求出FTBS数值解，然后和微分方程精确解进行比较，确定差分方程是否收敛。直接证

6、明法比较简单，但是只有很少几个差分方程可以采用直接证明法来证明其收敛性，而数值试验法又非常麻烦，一般来说，很难用数值试验结果严格证明差分方程是否收敛。总的说来，不管是采用直接证明法，还是数值试验法，要证明差分方程收敛性都是比较困难的。关于差分方程收敛性需要作以下说明：(1)差分方程收敛性表示差分方程数值解和微分方程精确解逼近程度，只有在差分方程收敛于微分方程时，差分方程解才可能是微分方程精确解。(2)差分方程相容性是差分方程首先要满足的，差分方程相容性是收敛性的必要性条件，但并不是充分条件。差分方程相容性并不能保证差分方程数值解一定收敛于微分方程精确解。若差分方程不相容，则数值解肯定不

7、收敛微分方程的精确解。粗看起来，差分方程相容性要求时，差分方程逼近于微分方程，似乎差分方程数值解也应该收敛于微分方程精确解。事实上，当我们在证明相容性时，已经假定了差分方程数值解就是微分方程精确解，在对微分方程进行展开时，截断误差中已经忽略了离散化误差的存在。因此，差分方程相容性并不能保证其收敛性。(3)差分方程同样也有两种不同形式的收敛性：有条件收敛和无条件收敛。2.4.3稳定性（Stability）用计算机数值求解差分方程时，计算误差总是不