数值分析（李庆扬）单步法的稳定性.doc

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1、单步法的稳定性前面关于收敛性的讨论有个前提,必须假定数值方法本身的计算是准确的.实际情形并不是这样,差分方程的求解还会有计算误差,譬如由于数字舍入而引起的小扰动这类小扰动在传播过程中会不会恶性增长,以致"淹没"了差分方程的"真解"呢?这就是差分方法的稳定性问题.在实际计算时,希望某一步产生的扰动值在后面的计算中能够被控制,甚至是逐步衰减的。定义若一种数值方法在节点值上产生大小为的扰动,在以后各节点值上产生的偏差均不超过,则称该方法是稳定的。稳定性问题比较复杂它不但与方法有关,也与方程中的f(x,y)有关还与步长h的大小有关,为了只考察数值方法本身,通常只检验将数值方法

2、用于解模型方程的稳定性,模型方程为选择它作为模型方程的原因有二:其一，这个方程分析较简单,右端是线性函数；其二,这个方程具有一般性，因为对右端是非线性函数的方程，也可以通过局部线性化转化为这种形式。为保证模型方程本身的稳定性，假定。下面先研究Euler方法的稳定性.模型方程的Euler公式为在节点值上有一扰动值，它的传播使节点值产生大小为的扰动值,假设用＋按Euler格式得出＋的计算过程不再有新的误差,则扰动值满足可见扰动值满足原来的差分方程,这样如果差分方程的解是不增长的,即有：（1）则它就是稳定的.这一论断对于下面将要研究的其他方法同样适用。显然，为要保证差分方程

3、的解是不增长的,只要选取h充分小,使)这说明Euler方法是条件稳定的,其稳定性条件为记则稳定性条件可表示为，通常称为时间常数。时间常数τ可用来刻画原方程的解y(x)的衰减速度.事实上,在时间τ内,解衰减了倍.因此τ越小,解y(x)衰减得越快。Euler方法的稳定性条件表明,时间常数τ越小,稳定性对步长h的限制越苛刻。再考察后退的Euler方法.对于模型方程,其后退的Euler格式为可解出显然对于任意的步长h，，从而后退的Euler方法恒稳定（或称无条件稳定）。对于所给方程y’=-100y,其时间常数τ=0.01,因此,为保证Euler方法稳定，步长h应不超过2τ=0

4、.02.若取步长h=0.025,则Euler格式的具体形式为考察后退的Euler方法,取h=0.025时计算格式为计算结果列于下表节点Euler方法后退的Euler方法0.025-1.50.28570.08210.0502.250.08160.00670.075一3.3750.02330.1005.06250.0067