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《数值分析（李庆扬）CH.7.doc》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在应用文档-天天文库。
1、第七章数值积分问题：求Newton－Leibnitz公式，原函数不易求得，特别当列表函数时更是如此。，其中注意，这是一个构造性定义。寻求更有效的求I（或其近似值）的方法用近似函数代积分多方面的原因一般：的插值多项式等距节点求积公式将区间[a,b]n等分，分点为，,设利用Lagrange插值公式以代得其中无注意与无关，具有一般性，称为Cotes系数——Newton-Gotes公式。特别的：梯形公式：Simpson(抛物形)公式：Gotes公式：由于对是的计算值，用计算机算得，可以认为从而Newton-Gotes公式的理论值和实际计算值
2、之差：若，则有，方法是稳定的。如果假设不成立，则函数值的计算误差可能积累，方法不稳定。因为这个原因Newton-Gotes公式只能用于n<8的场合。一般求积公式：（机械求积公式）（1）系数不依赖于被积函数f.若（1）式对精确成立，对不能精确成立，称公式（1）有n次代数精确度。（一般认为越高越好）由多项式插值理论知n阶N-C公式的代数精确度至少是n次的，可证当n=2k时，其代数精确度至少为2k+1次。如果（1）式中的，为Lagrange插值基，则称（1）为插值型的。定理：（1）至少有n次代数精度（1）是插值型的。例：Simpson公式
3、的代数精度为3次。因为已知Simpson公式的代数精度至少为3次，而梯形公式的误差设：误差Simpson公式的误差三次代数精度，构造，使由于Simpson公式有3次代数精确度，所以Hermite插值余项（用差商表示）复化公式及误差分析由上述误差表达式可知，区间越小，绝对误差越小，复化梯形公式：将积分区间n等分，节是与的关系记记复化Simpson公式易验证：与有又：消去得复化公式误差分析：若则，使（平均值）类似的，实际上，当可积，是一个Riemann和数。当时，均收敛于。稳定性，如果计算有误差，记引起的误差小于稳定的。当f的光滑性达不
4、到2阶时，不一定成立，但是我们有：所以只要可积，就有例：复化梯形公式余项的精确化Euler-Maclaurin公式，Romberg积分法令则可以把写成，写成….当被积函数f确定时，Euler-Maclaurin公式可写成：其中为一些常数。在中，以代h，得：记，是比更好的近似，对比前面我们得到的与的关系，可知实际上就是。类似地，我们可进一步写出：更好，还可做如此我们得到Romberg积分法程序：1.取整数2.（等分区间）3.（平分区间）4.5.1.停止输出。否则转（3）排成一个表注意，Romberg积分中的加速收敛是以余项（）为基础的
5、，若（）不成立，则不能用。例如：，因在不存在，不可以用Romberg加速但————————————————————————f(x)exp(-(x)*(x))T0=0.877037k=1,n=4,h=0.5,Tk=0.880619,Tkk=0.881812k=2,n=8,h=0.25,Tk=0.881704,Tkk=0.882082k=3,n=16,h=0.125,Tk=0.881986,Tkk=0.882081k=4,n=32,h=0.0625,Tk=0.882058,Tkk=0.882081I=0.882081f(x)sqrt(1
6、-(x)*(x))T0=0.683013k=1,n=4,h=0.25,Tk=0.748927,Tkk=0.770899k=2,n=8,h=0.125,Tk=0.772455,Tkk=0.780924k=3,n=16,h=0.0625,Tk=0.780813,Tkk=0.783866k=4,n=32,h=0.03125,Tk=0.783776,Tkk=0.784861k=5,n=64,h=0.015625,Tk=0.784824,Tkk=0.785209k=6,n=128,h=0.0078125,Tk=0.785195,Tkk=0.7
7、85331k=7,n=256,h=0.00390625,Tk=0.785326,Tkk=0.785374k=8,n=512,h=0.00195312,Tk=0.785373,Tkk=0.785390k=9,n=1024,h=0.000976562,Tk=0.785389,Tkk=0.785395k=10,n=2048,h=0.000488281,Tk=0.785395,Tkk=0.785397k=11,n=4096,h=0.000244141,Tk=0.785397,Tkk=0.785398I=0.785398-----------
8、--------------------------------------------------------------------------Richardson外推法函数（未知量）。越小，算代价越大。如果已知其中为常数，则可令
