杆件的变形计算.ppt

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1、第四章杆件的变形计算本部分主要内容:拉压杆的轴向变形圆轴的扭转变形与相对扭转角梁的弯曲变形、挠曲线近似微分方程用积分法求梁的弯曲变形用叠加法求梁的弯曲变形直杆在其轴线的外力作用下，纵向发生伸长或缩短变形，而其横向变形相应变细或变粗杆件在轴线方向的伸长纵向应变由胡克定律得到轴向拉压变形公式第一节拉压杆的轴向变形公式的适用条件:1）线弹性范围以内，材料符合胡克定律2）在计算杆件的伸长时，l长度内其FN、A、l均应为常数，若为变截面杆或阶梯杆，则应进行分段计算或积分计算。横向也会发生变形横向应变通过试验发现，当材料在弹性范围内时，拉压杆的纵向应变和横向应变存在如

2、下的比例关系泊松比泊松比ν、弹性模量E、切变模量G都是材料的弹性常数，可以通过实验测得。对于各向同性材料，可以证明三者之间存在着下面的关系例题4-1(教材70页)如图所示阶梯形直杆，已知该杆AB段横截面面积A1=800mm2，BC段横截面面积A2=240mm2，杆件材料的弹性模量E=200GPa，求该杆的总伸长量。1）求出轴力，并画出轴力图2）求伸长量mm伸长缩短缩短例4-2节点位移问题(教材70页)如图所示桁架，钢杆AC的横截面面积A1=960mm2，弹性模量E1=200GPa。木杆BC的横截面面积A2=25000mm2，长1m，弹性模量E2=10GPa

3、。求铰接点C的位移。F=40kN。分析通过节点C的受力分析可以判断AC杆受拉而BC杆受压，AC杆将伸长，而BC杆将缩短。因此，C节点变形后将位于C3点由于材料力学中的小变形假设，可以近似用C1和C2处的圆弧的切线来代替圆弧（以切代弧法），得到交点C0[解]1）分析节点C,求AC和BC的轴力（均预先设为拉力）拉压伸长缩短2）求AC和BC杆分别的变形量3）分别作AC1和BC2的垂线交于C0C点总位移：(此问题若用圆弧精确求解)第二节圆轴的扭转变形及相对扭转角在谈到圆轴扭转切应力公式的推导时，相距为dx的两个相邻截面之间有相对转角dj取单位长度扭转角用来表示扭

4、转变形的大小单位长度扭转角的单位:rad/m抗扭刚度越大，单位长度扭转角越小在一段轴上，对单位长度扭转角公式进行积分，就可得到两端相对扭转角j。相对扭转角的单位:rad当为常数时：请注意单位长度扭转角和相对扭转角的区别同种材料阶梯轴扭转时:例4-3一受扭圆轴如图所示，已知：T1=1400N·m，T2=600N·m，T3=800N·m，d1=60mm，d2=40mm，剪切弹性模量G=80GPa，计算最大单位长度扭转角。1）根据题意，首先画出扭矩图2）AB段单位长度扭转角：3）BC段单位长度扭转角：综合两段，最大单位长度扭转角应在BC段为0.03978rad/

5、m例4-4图示一等直圆杆，已知d=40mma=400mmG=80GPa,jDB=1°,求:1)最大切应力;2）jAC1）画出扭矩图2）求最大切应力首先要求出M的数值梁还必须有足够的刚度，即在受载后不至于发生过大的弯曲变形，否则构件将无法正常工作。例如轧钢机的轧辊，若弯曲变形过大，轧出的钢板将薄厚不均匀，产品不合格；如果是机床的主轴，则将严重影响机床的加工精度。一、梁的变形第三节梁的弯曲变形，挠曲线近似微分方程梁在平面内弯曲时，梁轴线从原来沿x轴方向的直线变成一条在xy平面内的曲线，该曲线称为挠曲线。某截面的竖向位移，称为该截面的挠度某截面的法线方向与x轴的

6、夹角称为该截面的转角挠度和转角的大小和截面所处的x方向的位置有关，可以表示为关于x的函数。挠度方程（挠曲线方程）转角方程挠度和转角的正负号规定：在图示的坐标系中，挠度w向上为正，向下为负。转角规定截面法线与x轴夹角，逆时针为正，顺时针为负,即在图示坐标系中挠曲线具有正斜率时转角q为正。挠度和转角的关系在小变形假设条件下挠曲线的斜率（一阶导数）近似等于截面的转角二、挠曲线近似微分方程纯弯曲情况下梁的中性层曲率与梁的弯矩之间的关系是:横力弯曲情况下，若梁的跨度远大于梁的高度时，剪力对梁的变形可以忽略不计。但此时弯矩不再为常数。高等数学中，关于曲率的公式在梁小变

7、形情况下，梁的挠曲线近似微分方程最终可写为梁的挠曲线近似微分方程对上式进行一次积分,可得到转角方程（等直梁EI为常数）再进行一次积分,可得到挠度方程其中，C和D是积分常数，需要通过边界条件或者连续条件来确定其大小。第四节用积分法求梁的弯曲变形边界条件在约束处的转角或挠度可以确定连续条件在梁的弯矩方程分段处，截面转角相等，挠度相等。若梁分为n段积分，则要出现2n个待定常数，总可找到2n个相应的边界条件或连续条件将其确定。例4-5如图等直悬臂梁自由端受集中力作用，建立该梁的转角方程和挠曲线方程，并求自由端的转角和挠度。（1）按照图示坐标系建立弯矩方程请同学们自

8、己做一下（时间:1分钟）（2）挠曲线近似微分方程（3）积分（4）确