杆件结构的变形计算

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1、6.5能量法基础1、变形是指结构原有形状的变化。2、位移是指某点位置或某截面位置和方位的移动。位移包括线位移和角位移两种。1）线位移是指结构上某点沿直线方向相对于原位置移动的距离，结构上两点之间沿两点连线方向相对位置的改变量，称为相对线位移；2）角位移是指杆件某截面相对于原位置转动的角度，结构上两个截面相对转动的角度称为相对角位移。变形和位移6.5.1作用在弹性杆件上的力所作的功外力的作用下将产生变形，在这一过程中，外力将在杆件相应的位移上作功。外力作功分为常力作功和变力作功两种形式。1、常力功当杆件位移发生之前

2、，力已经存在，且位移产生过程中，作用力不发生变化，则此时力所作的功为常力功。等于该力的大小与其作用点沿力方向相应位移的乘积。2、变力功当弹性杆件在力的作用下所产生的位移，随力和变形的增加而增加时，力所作的功为变力功。6.5.2杆件的弹性应变能弹性体在外力的作用下将产生弹性变形，此时，外力所作的功将转变为储存于弹性体内的能量。而当外力逐渐减小时，弹性体的变形可逐渐恢复，储存在体内的能量被释放而作功。这种因弹性体变形而储存的能量称为弹性应变能。储存于弹性体内的应变能在数值上等于外力所作的功。若轴力沿轴线为变量，的微段

3、杆内所储存的应变能梁弯曲时的应变能则可先计算长为6.5.3互等定理1、功的互等定理能量守恒原理，可推导得出线性弹性体的互等定理，常用的是功的互等定理和位移互等定理。力系在力系引起的位移上所作的功，等于力系在力系引起的位移上所作的功。推导：2、位移互等定理力在作用点处所引起的与相对应的位移在数值上等于力在作用点处所引起的与相对应的位移当当时，所产生的位移称为单位位移，特用来表示，则此时的位移互等定理可写成在弹性范围内,弹性体在外力作用下发生变形而在体内积蓄的能量,称为弹性变形能,简称变形能.一、能量法三、变形能二、

4、外力功固体在外力作用下变形,引起力作用点沿力作用方向位移,外力因此而做功,则成为外力功.利用功能原理Vε=W来求解可变形固体的位移,变形和内力等的方法.总结可变形固体在受外力作用而变形时,外力和内力均将作功.对于弹性体,不考虑其他能量的损失,外力在相应位移上作的功,在数值上就等于积蓄在物体内的应变能.Vε=W四、功能原理五、杆件变形能的计算1.轴向拉压的变形能此外力功的增量为：当拉力为F1时,杆件的伸长为Δl1当再增加一个dF1时,相应的变形增量为d(Δl1)FFllFFOll1dl1dF1F1积分得:根

5、据功能原理当轴力或截面发生变化时:Vε=W,可得以下变形能表达式当轴力或截面连续变化时：2.扭转杆内的变形能或lMeMeMe纯弯曲横力弯曲3.弯曲变形的变形能θMeMeMeMe4.组合变形的变形能截面上存在几种内力,各个内力及相应的各个位移相互独立,力独立作用原理成立,各个内力只对其相应的位移做功.六、变形能的普遍表达式F--广义力(包括力和力偶)δ--广义位移(包括线位移和角位移)B'C'F3BCF2AF1假设广义力按某一比例由零增致最后值对应的广义位移也由零增致最后值.对于线性结构,位移与荷载之间是

6、线性关系，任一广义位移,例如2可表示为F3ABCF1F2B'C1F1,C2F2,C3F3分别表示力F1,F2,F3在C点引起的竖向位移.C1,C2,C3是比例常数.F3/F2在比例加载时也是常数F1/F2和2与F2之间的关系是线性的.同理,1与F1,3与F3之间的关系也是线性的.在整个加载过程中结构的变形能等于外力的功iFiF3ABCF1F2B'——克拉贝隆原理（只限于线性结构）Fii七、变形能的应用1.计算变形能2.利用功能原理计算变形例题1试求图示悬臂梁的变形能,并利用功能原理求自由端B的挠度.A

7、BFlx解：由Vε=W得例题2试求图示梁的变形能,并利用功能原理求C截面的挠度.ABCFx1x2abl解：由Vε=W得例题3拉杆在线弹性范围内工作.抗拉刚度EI,受到F1和F2两个力作用.若先在B截面加F1,然后在C截面加F2;若先在C截面加F2,然后在B截面加F1.分别计算两种加力方法拉杆的应变能.ABCabF1F2（1）先在B截面加F1,然后在C截面加F2ABCabF1（a）在B截面加F1,B截面的位移为外力作功为（b）再在C上加F2F2C截面的位移为F2作功为（c）在加F2后,B截面又有位移在加F2过程中F

8、1作功（常力作功）所以应变能为ABCabF1F2（2）若先在C截面加F2,然后B截面加F1.（a）在C截面加F2后,F2作功（b）在B截面加F1后,F1作功ABCabF1F2（c）加F1引起C截面的位移在加F1过程中F2作功（常力作功）ABCabF1F2所以应变能为注意：（1）计算外力作功时,注意变力作功与常力作功的区别.（2）应变能Vε只与外力的最终值有关,而与加载过程