北京理工大学数值分析总复习.ppt

《北京理工大学数值分析总复习.ppt》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、数值分析复习1考试时带计算器上机题请在11月30日晚9:30之前交，交打印稿。答疑时间：11月28，29,30（即星期3,4，5）晚上7:30—9:30，上机作业也在答疑时间交。答疑地点：中教816。2第一章误差绝对（相对）误差(限)有效数字3有效数字x:精确值x*:近似值,其科学记数法为若则称近似值x*具有n位有效数字.4第二章解线性方程组的直接方法列主元素法LU分解法(Doolittle分解法)(追赶法)平方根法与改进的平方根法条件数求5对i=2,3,…,n,6先求再求得x.直接三角分解法或Doolitt

2、le分解法.7A:对称正定阵Cholesky分解设li=L的第i个行向量,则对i=2,3,…,n,8先求Ly=b,再求LTx=y.平方根法或Cholesky分解法.9第三章解线性方程组的迭代解法Jacobi迭代法Gauss-Seidel迭代法迭代法收敛的条件(充要条件,充分条件)求10Jacobi迭代法(k)(k)(k)(k)(k+1)11Gauss-Seidel迭代法(k)(k)(k+1)(k+1)(k+1)12迭代法收敛的充分必要条件任意收敛迭代法收敛的充分条件若A为严格对角占优或不可约对角占优,则求解A

3、x=b的Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法均收敛.若A为对称正定阵,则求解Ax=b的Gauss-Seidel迭代法收敛.13第四章　特征值与特征向量的计算幂法和反幂法14设A为n阶实矩阵,其特征值为1,2,…,n,相应的特征向量为u1,u2,…,un.且满足条件u1,u2,…,un线性无关.幂法幂法:求1及其相应的特征向量.此时1一定是实数!1通常称为主特征值.15幂法的计算公式任取初始向量x(0)=y(0)0,对k=1,2,…,构造向量序列{x(k)},{y(k)}当k充分大时1

4、6反幂法用于计算矩阵按模最小的特征值及其特征向量,也可用来计算对应于一个给定近似特征值的特征向量,是目前求特征向量最有效的方法.反幂法17反幂法迭代公式为任取初始向量x(0)=y(0)0,构造向量序列迭代向量x(k+1)可以通过解方程组求得当k充分大时18第五章插值法Lagrange插值Newton插值Hermite插值19问题:求Ln(x).(1)至多n次多项式;(2)20Lagrange插值其中li(x)为插值基函数(1)n次多项式截断误差(2)21差商一阶差商二阶差商k阶差商22Newton

5、插值公式一般通过差商表进行计算截断误差同Lagrange插值公式.23Hermite插值多项式求H(x).(1)至多(2n+1)次多项式;(2)24(2n+1)次多项式其中li(x)是Lagrange插值基函数.25(2n+1)次多项式其中li(x)是Lagrange插值基函数.26截断误差Hermite插值的一般形式(见课本122页)27第六章函数逼近最小二乘一次(二次)多项式拟合函数的最佳平方逼近28问题:给定n个数据点(xi,yi)(i=1,2,…,n)求(或y=a0+a1x)使得达到最小.最小二乘

6、一次(二次)多项式拟合29令利用多元函数取极值的必要条件得到正则方程组由上式求得a0,a1,a2,得到最小二乘拟合二次多项式.30最小平方线性多项式逼近§3函数的最佳平方逼近设f(x)是区间[a,b]上的连续函数,求线性多项式函数(x)=a0+a1x使得,(x)称为函数f(x)在区间[a,b]上的一次最佳平方逼近多项式.即求a0,a1使得31二次最佳平方逼近多项式设f(x)是区间[a,b]上的连续函数,求二次多项式函数(x)=a0+a1x+a2x2使得,(x)称为函数f(x)在区间[a,b]上的二次最佳平方逼近

7、多项式.32第七章数值微分与数值积分复化梯形公式复化Simpson公式Romberg算法Gauss型求积公式代数精确度截断误差33代数精确度设有求积公式若它对f(x)=1,x,x2,…,xm都能精确成立(即上式等号成立),但对f(x)=xm+1上式等号不成立,则称该求积公式具有m次代数精确度.34复化梯形公式其中截断误差35复化Simpson公式区间[a,b]n等分,n=2m其中截断误差36梯形值序列递推算法所有新增加节点的函数值之和.其中37Romberg算法38Gauss型求积公式Ak:求积系

8、数,{xk}:求积节点如果该求积公式具有(2n-1)阶代数精确度,则称其为Gauss型求积公式.设有求积公式39区间[-1,1]上的Guass型求积公式其中求积节点{xk}为n阶Legendre多项式的零点;Ak,xk的值可查表得到.一般[a,b]上的Gauss型求积公式可用换元法转化