2004考研数一真题及解析.doc

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Borntowin2004年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题一、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上.(1)曲线上与直线垂直的切线方程为.(2)已知，且,则.(3)设为正向圆周在第一象限中的部分，则曲线积分的值为.(4)欧拉方程的通解为.(5)设矩阵，矩阵满足，其中为的伴随矩阵，是单位矩阵，则(6)设随机变量服从参数为的指数分布，则=.二、选择题：本题共8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内.(7)把时的无穷小量，排列起来，使排在后面的是前一个的高阶无穷小，则正确的排列次序是()(A).(B).(C).(D).(8)设函数连续，且则存在，使得()(A)在(0，内单调增加.(B)在内单调减少.(C)对任意的，有.(D)对任意的，有.(9)设为正项级数，下列结论中正确的是()27 Borntowin(A)若=0，则级数收敛.(B)若存在非零常数，使得，则级数发散.(C)若级数收敛，则.(D)若级数发散,则存在非零常数，使得.(10)设为连续函数，，则等于()(A).(B).(C).(D)0.(11)设是3阶方阵，将的第1列与第2列交换得,再把的第2列加到第3列得,则满足的可逆矩阵为()(A)(B).(C).(D).(12)设为满足的任意两个非零矩阵，则必有()(A)的列向量组线性相关，的行向量组线性相关.(B)的列向量组线性相关，的列向量组线性相关.(C)的行向量组线性相关，的行向量组线性相关.(D)的行向量组线性相关，的列向量组线性相关.(13)设随机变量服从正态分布)，对给定的，数满足，若，则等于()(A).(B).(C).(D).(14)设随机变量独立同分布，且其方差为令，则()27 Borntowin(A)Cov((B).(C).(D).三、解答题：15－23小题，共94分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.(15)(本题满分12分)设,证明.(16)(本题满分11分)某种飞机在机场降落时，为了减少滑行距离，在触地的瞬间，飞机尾部张开减速伞，以增大阻力，使飞机迅速减速并停下.现有一质量为9000的飞机，着陆时的水平速度为700.经测试，减速伞打开后，飞机所受的总阻力与飞机的速度成正比(比例系数为问从着陆点算起，飞机滑行的最长距离是多少？(注表示千克，表示千米/小时.)(17)(本题满分12分)计算曲面积分其中是曲面的上侧.(18)(本题满分11分)设有方程，其中为正整数.证明此方程存在惟一正实根，并证明当时，级数收敛.(19)(本题满分12分)设是由确定的函数，求的极值点和极值.(20)(本题满分9分)设有齐次线性方程组27 Borntowin试问取何值时，该方程组有非零解，并求出其通解.(21)(本题满分9分)设矩阵的特征方程有一个二重根，求的值，并讨论是否可相似对角化.(22)(本题满分9分)设,为随机事件，且，令求：(I)二维随机变量的概率分布；(II)和的相关系数(23)(本题满分9分)设总体的分布函数为其中未知参数为来自总体的简单随机样本，求：(I)的矩估计量；(II)的最大似然估计量.27 Borntowin2004年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题解析一、填空题(1)【答案】【详解】方法1：因为直线的斜率，所以与其垂直的直线的斜率满足，所以，即，曲线上与直线垂直的切线方程的斜率为1，即，得，把代入，得切点坐标为，根据点斜式公式得所求切线方程为：，即方法2：本题也可先设切点为，曲线过此切点的导数为，得，所以切点为，由此可知所求切线方程为，即.(2)【答案】【详解】先求出的表达式，再积分即可.方法1：令，则，，于是有，即两边积分得.利用初始条件,代入上式：，即，故所求函数为=.方法2：由，所以，所以下同.(3)【答案】【详解】利用极坐标将曲线用参数方程表示，相应曲线积分可化为定积分.27 Borntowin为正向圆周在第一象限中的部分，用参数式可表示为于是(4)【答案】【详解】欧拉方程的求解有固定方法，作变量代换化为常系数线性齐次微分方程即可.令，有，则，代入原方程：，整理得，此式为二阶齐次线性微分方程，对应的特征方程为，所以特征根为：，，所以的通解为27 Borntowin又因为，所以，代入上式得(5)【答案】【详解】方法1：已知等式两边同时右乘，得，由伴随矩阵的运算规律：，有，而，于是有，移项、合并有，再两边取行列式，由方阵乘积的行列式的性质：矩阵乘积的行列式等于矩阵行列式的积，有，而，故所求行列式为方法2：由题设条件，得由方阵乘积行的列式的性质：矩阵乘积的行列式等于矩阵行列式的积，故两边取行列式，有其中；由伴随矩阵行列式的公式：若是阶矩阵，则.27 Borntowin所以，=9；又=1.故.(6)【答案】【详解】本题应记住常见指数分布等的期望与方差的数字特征，而不应在考试时再去推算.指数分布的概率密度为，其方差.于是，由一维概率计算公式，，有==二、选择题(7)【答案】(B)【详解】方法1：，则是的高阶无穷小，根据题设，排在后面的是前一个的高阶无穷小，所以可排除(C),(D)选项，又，可见是比低阶的无穷小量，故应选(B).方法2：用(当时)去比较.27 Borntowin欲使上式极限存在但不为0，应取，有，所以(当时)与同阶.欲使上式极限存在但不为0，应取,有，所以(当时)与同阶.欲使上式极限存在但不为0，应取,有，所以(当时)与同阶.因此，后面一个是前面一个的高阶小的次序是，选(B).(8)【答案】(C)【详解】函数只在一点的导数大于零，一般不能推导出单调性，因此可排除(A),(B).由导数的定义，知根据极限的保号性，知存在，当时，有.即当时，，有；而当时，有.(9)【答案】(B)【详解】对于敛散性的判定问题，若不便直接推证，往往可通过反例排除找到正确选项.方法1：排除法.取，则=0，又，所以发散，排除A，D；又取，因为级数，则级数27 Borntowin收敛，但，排除(C),故应选(B).方法2：证明(B)正确.,即.因为发散，由比较判别法的极限形式知，也发散，故应选(B)..(10)【答案】(B)【详解】在应用变限的积分对变量求导时，应注意被积函数中不能含有变量:否则，应先通过恒等变形、变量代换和交换积分次序等将被积函数中的变量换到积分号外或积分线上.方法1：交换积分次序,使得只有外面这道积分限中才有，其他地方不出现由知：，交换积分次序，得=于是，，从而有，故应选(B).方法2：设，于是所以所以，选(B).(11)【答案】(D)【详解】由题设，将的第1列与第2列交换，即，将的第2列加到第3列，即27 Borntowin故，应选(D).(12)【答案】(A)【详解】方法1：由矩阵秩的重要公式：若为矩阵，为矩阵，如果，则设为矩阵，为矩阵，由知，，其中是矩阵的列数，也是的行数因为非零矩阵，故，因，从而，由向量组线性相关的充分必要条件向量组的秩小于向量的个数，知的行向量组线性相关.因为非零矩阵，故，因，从而，由向量组线性相关的充分必要条件向量组的秩小于向量的个数，知的列向量组线性相关.故应选(A).方法2：设为矩阵，为矩阵，将按列分块，由得，因是非零矩阵，故存在，使得.即齐次线性方程组有非零解.由齐次线性方程组有非零解的充要条件,知.所以的列向量组线性相关.又，将按列分块，得因是非零矩阵，故存在，使得，即齐次线性方程组有非零解.由齐次线性方程组有非零解的充要条件，知的列向量组线性相关，由是由行列互换得到的，从而的行向量组线性相关，故应选(A).方法3：设,将按列分块，记27 Borntowin由(1)由于,所以至少有一个(),又由(1)知,,所以线性相关.即的列向量组线性相关.(向量组线性相关的定义：如果对个向量，有个不全为零的数，使成立，则称线性相关.)又将按行分块，记,同样，由于,则至少存在一个(),使,由向量组线性相关的定义知，线性相关,即的行向量组线性相关，故应选(A).方法4：用排除法.取满足题设条件的.取，有的行向量组，列向量组均线性相关，但的列向量组线性无关，故(B)，(D)不成立.27 Borntowin又取，有，的行向量组线性无关，的列向量组线性相关，故(C)不成立.由排除法知应选(A).(13)【答案】C【详解】利用正态分布概率密度函数图形的对称性，对任何有.或直接利用图形求解.方法1：由标准正态分布概率密度函数的对称性知，，于是即有，可见根据分位点的定义有，故应选(C).方法2：OO图1图2如图1所示题设条件.图2显示中间阴影部分面积，.两端各余面积，所以，答案应选(C).(14)【答案】A.【详解】由于随机变量独立同分布，所以必有：又27 Borntowin下面求和.而故本题的关键是将中的分离出来，再用独立性来计算.对于选项(A)：所以(A)对，(B)不对.为了熟悉这类问题的快速、正确计算.可以看本题(C),(D)选项.因为与独立时，有.所以，这两个选项的方差也可直接计算得到：=，=所以本题选(A)三、解答题(15)【详解】根据要证不等式的形式，可考虑用拉格朗日中值定理或转化为函数不等式用单调性证明.方法1：因为函数在上连续，且在内可导，所以满足拉格朗日中值定理的条件，对函数在上应用拉格朗日中值定理，得下证：.设，则，当时，，即27 Borntowin所以单调减少，又因为，所以，即，得故.方法2：利用单调性，设，证在区间内严格单调增即可.，(，),当时，，故单调减少，从而当时，，即当时，单调增加.因此当时，，即，故.方法3：设,则，,时,，得，在上单调减少,从而当时,，在上单调增加.从而当时,.，即.(16)【详解】本题是标准的牛顿第二定理的应用，列出关系式后再解微分方程即可.方法1：由题设，飞机质量，着陆时的水平速度.从飞机接触跑道开始计时，设时刻飞机的滑行距离为，速度为，则.根据牛顿第二定律，得.又.由以上两式得，积分得由于，所以故得，27 Borntowin从而当时，所以，飞机滑行的最长距离为1.05km.方法2：根据牛顿第二定律，得,分离变量：，两端积分得：，通解：，代入初始条件，解得，故飞机在跑道上滑行得距离相当于滑行到，对应地.于是由，有或由，知，故最长距离为当时，方法3：由，，化为对的求导，得,变形为，其特征方程为，解之得，故由，得于是当时，所以，飞机滑行的最长距离为1.05.(17)【详解】这是常规题，加、减曲面片高斯公式法，转换投影法，逐个投影法都可用.方法1：加、减曲面片高斯公式.取为平面上被圆所围部分的下侧，记27 Borntowin为由与围成的空间闭区域，则由高斯公式：设空间闭区域是由分段光滑的闭曲面所围成，函数在上具有一阶连续偏导数，则有这里，，所以利用柱面坐标：，有：=记为在平面上的投影域，则，，又为的下侧，从而：(其中为半径为1圆的面积，所以)故方法2：用转换投影法：若，对具有一阶连续偏导数，则27 Borntowin.曲面，由转换投影公式利用极坐标变换：，所以或直接利用公式及则所以，原式(18)【分析】利用零点定理证明存在性，利用单调性证明惟一性.而正项级数的敛散性可用比较法判定.27 Borntowin零点定理：设函数在闭区间上连续，且，那么在开区间内至少存在一点，使；单调性：设函数在闭区间上连续，在内可导，如果在内，那么函数在上单调增加；比较审敛法：设和都是正项级数，且，若级数收敛，则级数收敛.【证明】记，则是连续函数，由，，对照连续函数的零点定理知，方程存在正实数根当时，，可见在上单调增加,故方程存在惟一正实数根由与知，故当时，函数单调增，所以.而正项级数收敛，所以当时，级数收敛.(19)【分析】根据极值点存在的充分条件：设函数在点的某领域内连续且有一阶及二阶连续偏导数，又，令，则在处是否取得极值的条件如下：(1)时具有极值，且当时有极大值，当时有极小值；(2)时没有极值；(3)时，可能有极值，也可能没有极值，需另外讨论.所以对照极值点存在的充分性定理，先求出一阶偏导，再令其为零确定极值点，接下来求函数二阶偏导，确定是极大值还是极小值，并求出相应的极值.求二元隐函数的极值与求二元显函数的极值的有关定理是一样，差异仅在于求驻点及极值的充分条件时，用到隐函数求偏导数.【详解】因为，所以27 Borntowin两边对求导：，①两边对求导：.②根据极值点存在的充分条件，令，得，故将上式代入，可得或对照极值点存在的充分条件，为判别两点是否为极值点，再①分别对求偏导数，②分别对求偏导数①式对求导：，②式对求导：①式对求导：②式对求导：，将代入，于是，，，故，又，从而点(9,3)是的极小值点，极小值为.27 Borntowin类似地，将代入，于是，，，可知，又，从而点(-9,-3)是的极大值点，极大值为.(20)【详解】方法1：对方程组的系数矩阵作初等行变换，有对是否为零进行讨论：当时，，由齐次方程组有非零解的判别定理：设是矩阵，齐次方程组有非零解的充要条件是.故此方程组有非零解，把代入原方程组，得其同解方程组为此时，，故方程组有个自由未知量.选为自由未知量，将他们的组值分别代入式，得基础解系于是方程组的通解为其中为任意常数.当时，对矩阵作初等行变换，有，27 Borntowin可知时，，由齐次方程组有非零解的判别定理,知方程组也有非零解，把代入原方程组，其同解方程组为此时，，故方程组有个自由未知量.选为自由未量，取，由此得基础解系为，于是方程组的通解为，其中为任意常数.方法2：计算方程组的系数行列式：+，下面求矩阵的特征值：则的特征值，由性质：若，则，因此对任意多项式，，即是的特征值.故，的特征值为,由特征值的乘积等于矩阵行列式的值，得27 Borntowin行列式由齐次方程组有非零解的判别定理：设是阶矩阵，齐次方程组有非零解的充要条件是.可知，当，即或时，方程组有非零解.当时，对系数矩阵作初等行变换，有，.故方程组的同解方程组为此时，，故方程组有个自由未知量.选为自由未知量，将他们的组值分别代入式，由此得基础解系为于是方程组的通解为其中为任意常数.当时，，即，其同解方程组为此时，，故方程组有个自由未知量.选为自由未量，取，由此得基础解系为，于是方程组的通解为，其中为任意常数.(21)【详解】的特征多项式为27 Borntowin已知有一个二重特征值，有两种情况，(1)就是二重特征值，(2)若不是二重根，则是一个完全平方(1)若是特征方程的二重根，则有解得.由求得的特征值为2,2,6,由，知，故对应的线性无关的特征向量的个数为，等于的重数.由矩阵与对角矩阵相似的充要条件：对矩阵的每个特征值，线性无关的特征向量的个数恰好等于该特征值的重根数,从而可相似对角化.(2)若不是特征方程的二重根，则为完全平方，从而，解得当时，由知的特征值为2，4，4，由27 Borntowin知，故对应的线性无关的特征向量有,不等于的重数，则由矩阵与对角矩阵相似的充要条件：对矩阵的每个特征值，线性无关的特征向量的个数恰好等于该特征值的重根数,知不可相似对角化.(22)【分析】本题尽管难度不大，但考察的知识点很多，综合性较强.通过随机事件定义随机变量或通过随机变量定义随机事件，可以比较好地将概率论的知识前后连贯起来，这种命题方式值得注意.先确定的可能取值，再求在每一个可能取值点上的概率，而这可利用随机事件的运算性质得到，即得二维随机变量的概率分布；利用联合概率分布可求出边缘概率分布，进而可计算出相关系数.【详解】(I)由于，所以利用条件概率公式和事件间简单的运算关系，有，，(或)，故的概率分布为0101(II)的概率分布分别为所以的概率分布为27 Borntowin0101由分布的数学期望和方差公式，则，，,,故，从而(23)【分析】本题是基础题型，难度不大，但计算量比较大，实际做题时应特别注意计算的准确性.先由分布函数求出概率密度，再根据求矩估计量和最大似然估计量的标准方法进行讨论即可.似然函数的定义：【详解】的概率密度为(I)矩估计.由数学期望的定义：，用样本均值估计期望有，令，解得，所以参数的矩估计量为其中(II)最大似然估计.设是相应于样本的一组观测值，则似然函数为：27 Borntowin当时，，与在相同的点取得最大值；所以等式两边取自然对数，得，两边对求导，得，令，可得，解得的最大似然估计值为：从而得，的最大似然估计量为：27