2013考研数一真题及解析.doc

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1、2013年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上.（1）已知极限，其中为常数，且，则（）（A）（B）C）（D）（2）曲面在点处的切平面方程为（）（A）（B）（C）（D）（3）设，，令，则（）（A）（B）（C）（D）（4）设为四条逆时针的平面曲线，记，则=()（A）（B）（C）（D）（5）设矩阵A,B,C均为n阶矩阵，若（A）矩阵C的行向量组与矩阵A的行向量组等价（B）

2、矩阵C的列向量组与矩阵A的列向量组等价（C）矩阵C的行向量组与矩阵B的行向量组等价（D）矩阵C的行向量组与矩阵B的列向量组等价（6）矩阵与相似的充分必要条件为（A）（B）（C）（D）（7）设是随机变量，且,则（）（A）（B）（C）（D）（8）设随机变量给定常数c满足,则（）（A）（B）（C）（D）二、填空题：9-14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上.(9)设函数由方程确定，则．(10)已知，，是某二阶常系数非齐次线性微分方程的3个解，该方程的通解为．(11)设（为参数），则．

3、(12)．（13）设是三阶非零矩阵，为A的行列式，为的代数余子式，若（14）设随机变量Y服从参数为1的指数分布,为常数且大于零，则________。三、解答题：15—23小题，共94分.请将解答写在答题纸指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.（15）（本题满分10分）计算其中（16）（本题满分10分）设数列满足条件：是幂级数的和函数，（I）证明：,（II）求的表达式.（17）（本题满分10分）求函数的极值.（18）（本题满分10分）设奇函数上具有2阶导数，且证明：（I）存在（II）存在

4、，使得（19）（本题满分10分）设直线L过两点，将L绕Z轴旋转一周得到曲面所围成的立体为，（I）求曲面的方程（II）求的形心坐标.（20）（本题满分11分）设，当为何值时，存在矩阵使得，并求所有矩阵。（21）（本题满分11分）设二次型，记。（I）证明二次型对应的矩阵为；（II）若正交且均为单位向量，证明二次型在正交变化下的标准形为二次型。（22）（本题满分11分）设随机变量的概率密度为，令随机变量,（I）求Y的分布函数（II）求概率（23）（本题满分11分）设总体的概率密度为其中为未知参数且大于零，

5、为来自总体的简单随机样本.（1）求的矩估计量；（2）求的最大似然估计量.2013年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题答案一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上.（1）【答案】D【解析】（2）【答案】A【解析】设，则；；，所以该曲面在点处的切平面方程为，化简得，选A（3）【答案】C【解析】根据题意，将函数在上奇延拓，它的傅里叶级数为它是以2为周期的，则当且在处连续时，，因此（4）【答案】D【解析】利用二

6、重积分的几何意义，比较积分区域以及函数的正负，在区域上函数为正值，则区域大，积分大，所以，在之外函数值为负，因此，故选D。（5【答案】（B）【解析】由可知C的列向量组可以由A的列向量组线性表示，又B可逆，故有，从而A的列向量组也可以由C的列向量组线性表示，故根据向量组等价的定义可知正确选项为（B）。（6）【答案】(B)【解析】由于为实对称矩阵，故一定可以相似对角化，从而与相似的充分必要条件为的特征值为。又，从而。（7）【答案】（A）【解析】由知，，，故.由根据及概率密度的对称性知，，故选（A）（8）

7、【答案】（C）【解析】由得，，故9.【答案】1【解析】由，当时，方程两边取对数两边同时对求导，得将，代入上式，得(10)【答案】【解析】因，是非齐次线性线性微分方程的解，则是它所对应的齐次线性微分方程的解，可知对应的齐次线性微分方程的通解为，因此该方程的通解可写为(11)【答案】【解析】，，，所以，所以(12)【答案】【解析】（13）【答案】【解析】（14）【答案】【解析】由及随机变量函数的期望公式知.（15）【解析】（16）【解析】（I）设，，，因为，因此；（II）方程的特征方程为，解得，所以，又

8、，，解得，所以。17【解析】解得，对于点，为极小值点，极小值为对于，,不是极值.（18）【解析】（1）令则使得（2）令则又由于为奇函数，故为偶函数，可知,则使即，即（19）【解析】（1）过两点，所以其直线方程为：所以其绕着轴旋转一周的曲面方程为：（2）由形心坐标计算公式可得，所以形心坐标为（20）【解析】由题意可知矩阵C为2阶矩阵，故可设，则由可得线性方程组：（1）由于方程组（1）有解，故有，即从而有，故有从而有（21）【解析】(1)（2），则1,2均为A的特征值，又