2013考研数二真题及解析.doc

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1、Borntowin2013年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上.（1）设，其中，则当时，是（）（A）比高阶的无穷小（B）比低阶的无穷小（C）与同阶但不等价的无穷小（D）与等价的无穷小（2）设函数由方程确定，则（）（A）（B）（C）（D）（3）设函数，，则（）（A）是函数的跳跃间断点（B）是函数的可去间断点（C）在处连续但不可导（D）在处可导（4）设函数，若反常

2、积分收敛，则（）（A）（B）（C）（D）（5）设，其中函数可微，则（）（A）（B）（C）（D）（6）设是圆域在第象限的部分，记，则（）（A）（B）（C）（D）（7）设矩阵A,B,C均为n阶矩阵，若（A）矩阵C的行向量组与矩阵A的行向量组等价（B）矩阵C的列向量组与矩阵A的列向量组等价（C）矩阵C的行向量组与矩阵B的行向量组等价（D）矩阵C的行向量组与矩阵B的列向量组等价全国统一服务热线：400—668—215513Borntowin（8）矩阵与相似的充分必要条件为（A）（B）（C）（D）二、填

3、空题：9-14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上.(9)．(10)设函数，则的反函数在处的导数．(11)设封闭曲线L的极坐标方程为，则L所围成的平面图形的面积为．(12)曲线上对应于的点处的法线方程为．(13)已知，，是某二阶常系数非齐次线性微分方程的3个解，该方程满足条件的解为．（14）设是三阶非零矩阵，为A的行列式，为的代数余子式，若三、解答题：15—23小题，共94分.请将解答写在答题纸指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.（15）（本题满分10分）当时

4、，与为等价无穷小，求与的值。（16）（本题满分10分）设是由曲线，直线及轴所围成的平面图形，分别是绕轴，轴旋转一周所得旋转体的体积，若，求的值。全国统一服务热线：400—668—215513Borntowin（17）（本题满分10分）设平面内区域由直线及围成.计算。（18）（本题满分10分）设奇函数在上具有二阶导数，且.证明：（I）存在，使得；（II）存在，使得。（19）（本题满分11分）求曲线上的点到坐标原点的最长距离与最短距离。（20）（本题满分11分）设函数，（I）求的最小值（II）设数

5、列满足，证明存在，并求此极限.（21）（本题满分11分）设曲线的方程为，（1）求的弧长；（2）设是由曲线，直线及轴所围平面图形，求的形心的横坐标。（22）（本题满分11分）设，当为何值时，存在矩阵使得，并求所有矩阵。（23）（本题满分11分）设二次型，记。（I）证明二次型对应的矩阵为；（II）若正交且均为单位向量，证明二次型在正交变化下的标准形为二次型。2013年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题答案全国统一服务热线：400—668—215513Borntowin一、选择题：1～8小题，每小

6、题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上.（1）设，其中，则当时，是（）（A）比高阶的无穷小（B）比低阶的无穷小（C）与同阶但不等价的无穷小（D）与等价的无穷小【答案】（C）【解析】因为，所以，因此当时，，所以，所以，所以是与同阶但不等价的无穷小。（2）设函数由方程确定，则（）（A）（B）（C）（D）【答案】（A）【解析】由于，所以，对此隐函数两边求导得，所以，故。（3）设函数，，则（）（A）是函数的跳跃间断点（B）是函数的可去

7、间断点（C）在处连续但不可导（D）在处可导【答案】（C）【解析】，由于，所以在处连续；，，所以在处不可导。全国统一服务热线：400—668—215513Borntowin（4）设函数，若反常积分收敛，则（）（A）（B）（C）（D）【答案】（D）【解析】因为，当时，，要使存在，需满足；当时，，要使存在，需满足；所以。（5）设，其中函数可微，则（）（A）（B）（C）（D）【答案】（A）【解析】已知，所以，所以。（6）设是圆域在第象限的部分，记，则（）（A）（B）（C）（D）【答案】（B）【解析】令

8、，则有全国统一服务热线：400—668—215513Borntowin故当时，，此时有故正确答案选B。（7）设矩阵A,B,C均为n阶矩阵，若，且可逆，则（）（A）矩阵C的行向量组与矩阵A的行向量组等价（B）矩阵C的列向量组与矩阵A的列向量组等价（C）矩阵C的行向量组与矩阵B的行向量组等价（D）矩阵C的行向量组与矩阵B的列向量组等价【答案】（B）【解析】由可知C的列向量组可以由A的列向量组线性表示，又B可逆，故有，从而A的列向量组也可以由C的列向量组线性表示，故根据向量组等价的定义可知正确选项为