考研数二真题及解析

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1、Borntowin1998年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分,把答案填在题中横线上.)(1).(2)曲线与轴所围成的图形的面积.(3).(4)设连续,则.(5)曲线的渐近线方程为.二、选择题(本题共5小题,每小题3分,共15分.在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内.)(1)设数列与满足,则下列断言正确的是()(A)若发散,则发散(B)若无界,则必有界(C)若有界,则必为无穷小(D)若为无穷小,则必为无穷小(2)函数的不可导点的个数是()(A)0(B)1(C)2(D)3(3)已知函数在任意点

2、处的增量其中是比高阶的无穷小,且,则()(A)(B)(C)(D)(4)设函数在的某个邻域内连续,且为其极大值,则存在,当时,必有()(A)(B)(C)(D)21Borntowin(5)设是任一阶方阵,是其伴随矩阵,又为常数,且,则必有()(A)(B)(C)(D)三、(本题满分5分)求函数在区间内的间断点,并判断其类型.四、(本题满分5分)确定常数的值,使五、(本题满分5分)利用代换将方程化简,并求出原方程的通解.六、(本题满分6分)计算积分.七、(本题满分6分)从船上向海中沉放某种探测仪器,按探测要求,需确定仪器的下沉深度(从海平面算起)与下沉速度之间的函数关系.设仪器在重力作用下,

3、从海平面由静止开始铅直下沉,在下沉过程中还受到阻力和浮力的作用.设仪器的质量为,体积为,海水比重为,仪器所受的阻力与下沉速度成正比,比例系数为.试建立与所满足的微分方程,并求出函数关系式.八、(本题满分8分)设是区间上的任一非负连续函数.(1)试证存在,使得在区间上以为高的矩形面积,等于在上以21Borntowin为曲边的梯形面积.(2)又设在区间内可导,且,证明(1)中的是唯一的.九、(本题满分8分)设有曲线,过原点作其切线,求由此曲线、切线及轴围成的平面图形绕轴旋转一周所得到的旋转体的表面积.十、(本题满分8分)设是一向上凸的连续曲线,其上任意一点处的曲率为,且此曲线上点处的切线

4、方程为,求该曲线的方程,并求函数的极值.十一、(本题满分8分)设,证明：(1)(2)十二、(本题满分5分)设,其中是4阶单位矩阵,是4阶矩阵的转置矩阵,求.十三、(本题满分8分)已知,问：(1)取何值时,不能由线性表示？(2)取何值时,可由线性表示？并写出此表达式.21Borntowin1998年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题解析一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分,把答案填在题中横线上.)(1)【答案】【解析】方法1：用四则运算将分子化简,再用等价无穷小替换,原式.方法2：采用洛必达法则.原式.方法3：将分子按佩亚诺余项泰勒公式展开至项,,,从而原式.21Born

5、towin(2)【答案】【分析】求曲线与轴围成的图形的面积,应分清楚位于轴上方还是下方,为此,要先求此曲线与轴交点.【解析】与轴的交点,即的根为当时,；当时,,从而(3)【答案】【解析】因为,所以.(4)【答案】【解析】作积分变量代换,,21Borntowin,.【相关知识点】1.对积分上限的函数的求导公式：若,,均一阶可导,则.(5)【答案】【解析】题中未说什么渐近线,所以三类渐近线都要考虑.由曲线方程知,铅直渐近线可能在两处：及,但题设,所以不予考虑,考虑的情况.当时,,所以无铅直渐近线；因故无水平渐近线.再考虑斜渐近线:,(时,)所以有斜渐近线.【相关知识点】1.铅直渐近线：如

6、函数在其间断点处有,则是函数的一条铅直渐近线；水平渐近线：当,则为函数的水平渐近线.21Borntowin斜渐近线：若有存在且不为,则为斜渐近线.二、选择题(本题共5小题,每小题3分,共15分,在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内.)(1)【答案】(D)【解析】方法1:直接利用无穷小量的性质可以证明(D)是正确的.由及可知为两个无穷小之积,故亦为无穷小,应选(D).方法2:排除法.(A)的反例:满足题设,但不发散；(B)的反例:,满足,但不是有界数列；(C)的反例:有界数列,满足,但不是无穷小；排除掉(A)、(B)、(C),故选(D).(2

7、)【答案】(B)【解析】当函数中出现绝对值号时,就有可能出现不可导的“尖点”,因为这时的函数是分段函数.,当时可导,因而只需在处考察是否可导.在这些点我们分别考察其左、右导数.由,,即在处可导.又21Borntowin,,所以在处不可导.类似,函数在处亦不可导.因此只有2个不可导点,故应选(B).评注：本题也可利用下列结论进行判断：设函数,其中在处连续,则在处可导的充要条件是.(3)【答案】(A)【解析】由有令得是的高阶无穷小,则,即.分离变量,得两边积分