函数的连续性和有界变差性 - 杭州师范大学 学术期刊网.pdf

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1、第5卷第4期杭州师范学院学报(自然科学版)Vol.5No.42006年7月JournalofHangzhouTeachersCollege(NaturalScienceEdition)Jul.2006文章编号:1008-9403(2006)04-0285-02函数的连续性和有界变差性卢志康,有名辉,蔡鑫锋(杭州师范学院数学系,浙江杭州310036)α摘要:2000年,TorrianiH.H.构造了一个函数f∈H(0<α<1),但f

2、BV,这表明函数HÊlder连续性不能保证其有界变差性.在此证明了即使函数有强于HÊlder的连续性

3、也无法保证它的有界变差性.αβ关键词:有界变差;连续;H条件;HlogH条件中图分类号:O174.42MSC2000:26A16,26A45文献标识码:A0引言函数的连续性和有界变差性在分析中起着非常重大的作用,但两者之间有着很大的差异.有界变差函数不必是连续的,连续函数也不必是有界变差的.当函数有较强的连续性时,比如说满足Lipschitz条件,函数一定是有界变差的.究竟函数有什么样的连续性才能保证其具有有界变差性,一直是人们关心的课[1]题.近来TorrianiH.H.证明了HÊlder连续性不能保证有界变差性.在此将进一步讨

4、论这个问题,证明即使函数有强于HÊlder的连续性也无法保证其具有有界变差性.1定义设f(x)是定义在闭区间I=[0,1]上的实值函数.对于任意的x,y∈I,a.设P:={t0,t1,t2,⋯,tn-1,tn}是I的一个分割,即0=t0

5、f(ti)-f(ti-1)

6、i=1是f关于P的变差.设P(I)是I上的分割所成的集.记V(f):=SupV(f;P)P∈P(I)是f在I上的全变差.若V(f)是有限的.则称f是有界变差函数.记作f∈BV.b.若存在常数c>0,0<α≤1.

7、使得对I上的每一对元素{x,y},都有α

8、f(x)-f(y)

9、≤c

10、x-y

11、.α则称f(x)满足HÊlder条件.记作f∈H.当α=1时,也称f(x)满足Lipschitz条件,也记作f∈Lip1.c.若存在常数c>0,β>0.使得对I上的每一对元素{x,y},都有β1

12、f(x)-f(y)

13、≤c

14、x-y

15、log+β.

16、x-y

17、收稿日期:2005210219作者简介:卢志康(1943-),男,浙江湖州人,杭州师范学院数学系教授,主要从事函数逼近论方面的研究.286杭州师范学院学报(自然科学版)2006年ββ则称f(x)满足HlogH

18、条件.记作f∈HlogH.βα可以看出函数满足连续性条件HlogH(β>0)的要求要强于HÊlder条件f∈H(0<α<1),但弱于Lip1条件.2一类非有界变差函数的构造∞∞∞∞设∑an,∑bn是两个正项级数.满足:ⅰ):∑an=1;ⅱ):∑bn=∞,lni→m∞bn=0.n=1n=1n=1n=1an记:ε0=0,ε2n=a1+a2+⋯+an,ε2n-1=a1+a2+⋯+an-1+.2定义:0,x=ε2n,n=0,1,2,⋯,f(x)=bn,x=ε2n-1,n=1,2,⋯,(1)线性连接x∈(ε2n-1,ε2n)或x∈(ε2n,

19、ε2n+1)容易证明在I上f(x)不是有界变差函数.3主要结果β定理存在一个非有界变差函数f(x)满足HlogH条件.∞111证明记σ=∑(n+1)log1+β(n+1).取an=σ(n+1)log1+β(n+1),bn=(n+1)log(n+1).n=1β显然{an},{bn}满足条件ⅰ)和ⅱ).由式(1)定义的函数是非有界变差函数.下面证明f(x)满足Hlog条件.1)当x,y∈[ε2n-1,ε2n]或x,y∈[ε2n-2,ε2n-1]时,2

20、f(x)-f(y)

21、=

22、x-y

23、(n+1)anlog(n+1)2-β2β1≤log

24、

25、x-y

26、log(n+1)anlog(n+1)an

27、x-y

28、由于β2-β2log(n+1)limlog=lim2σ=2σ.n→∞(n+1)anlog(n+1)ann→∞log2σ+log(n+1)+(1+β)loglog(n+1)所以存在常数cβ1

29、f(x)-f(y)

30、≤c

31、x-y

32、log+β.(2)

33、x-y

34、2)当x

35、f(x)-

36、f(y)

37、=

38、f(x)-f(y1)

39、≤c

40、x-y1

41、log+β.(3)

42、x-y1

43、ββ-1111显然函数g(t)=tlog+β在[0,1]上是单调上升的(事实上g′(t)=loglog+β≥0),故ttt由式(3)可得:β1

44、f(x)-f(y)

45、≤