连续随机变量函数概率密度的辅助随机变量解法-论文.pdf

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1、长江大学学报(自科版)2013年12月号理工上旬刊第10卷第34期JournalofYangtzeUniversityNatSciEdit)Dec．2013，Vo1．10No．34连续随机变量函数概率密度的辅助随机变量解法汤保新，陈健，路培国(扬州大学土木工程系，江苏扬州225127)[摘要]通过引入辅助随机变量，提出了一种求解连续随机变量函数概率密度的新方法。该方法在计算随机变量函数概率密度时无需要求随机变量函数的反函数存在或分区域反函数存在，亦无需求导。算例分析表明，该解法对少数类型随机函数可求得解析解，这为一般类型随机函数概率密度的数值计算提供了理论依据。[关键词]概率

2、密度；辅助随机变量；傅里叶变换[中图分类号]O211[文献标志码]A[文章编号]1673—1409(2013)34—0007—03对连续型随机变量(或向量)函数的概率密度，其常规求解方法『l是分布函数法。当随机变量函数有反函数或分区域有反函数且反函数可导时，其概率密度可直接求得。一般情形时，其概率密度有积分形式(理论解)，但该理论解含有广义函数，仅对少数类型的函数可运用变量代换的技巧得出积分的解析解，而对大多数类型的一般函数不便直接求解析解。间接的方法是概率密度演化方法L2]，通过引入时间变量，先将问题转化为关于联合概率密度的偏微分方程，进而求得边缘密度；但该偏微分方程的初始

3、条件亦含有广义函数，不便于求解析解。为此，笔者通过引入辅助随机变量，提出了一种求解连续随机变量函数概率分布的新方法，为一般类型随机函数概率分布的数值计算提供了理论依据。l常规解法随机变量X或向量X一[X。，X。，⋯，x]的函数Y—g(X)是一随机变量(下称随机函数)。对任一实数集A，记g-(A)一{zlg()EA}，则：P(yEA)一P(g(X)∈A)一P(XEg(A))(1)式(1)是计算随机函数概率分布的基本公式。对连续型随机变量X，设其概率密度为fx(z)，当Y—g(X)为严格单调且反函数可导时，可利用反函数求得：fY()一fx(g()l(g一())I(2)对连续型随机

4、向量X，设其联合密度为fx(z)一fx(一，z)，当Y—g(X)对某分量x有反函数x一gx(X一，X。，y，x斗，⋯，X)时，亦可利用反函数求得：^()=JlXfx(1，⋯，z1．gx，斗1，⋯，)l(gx)／Idx1⋯dx一1dx斗1⋯dx(3)l，⋯，XiIXi+l，⋯．-，或当X为随机向量，将Y—g(X)改记为Y一g(X)，通过补充一1个恒等式，如Yj—g(X)，J≠i，共有个等式，全体等式记为Y—g(x)，当变换X—Y—g(x)有逆变换y—x—g(y)时，其雅可比z⋯．-I为J—l可先求得y的联合密度：^(1，⋯，Y)一fx(gT，⋯，g，⋯，g)lJl(4)再求Y一

5、g(X)的边缘密度：^，()一lfx(gl，⋯，g，⋯，g)lJI⋯r_汁1⋯dy(5)JYl，⋯yr1·Yi+l⋯Y若补充的一1个恒等式取为Yj—X，，J≠i，则得到式(3)。[收稿日期]2013一o9一o5【作者简介]汤保新(1967一)，男，硕士，讲师，现主要从事混凝土结构和抗震方面的教学与研究工作。·8·理工上旬刊*数理科学与应用2013年12月上述公式的关键条件是Y—g(X)有反函数存在。此条件可推广为：将X划分为m个互不相交的区域D，⋯，D，在每个区域上反函数存在，亦可求得y的联合密度：^(，⋯，Y)一fx(g7，⋯，g)1．，l(6)Dk，k一1，一·进而求得边

6、缘密度。常规解法的要求较苛刻，一是要求反函数存在或分区域反函数存在，在实际工程中一般难以满足；二是需要求导，增加了计算难度。2辅助随机变量解法研究随机函数：Z—Y+E—g(X)+E(7)的概率分布。式(7)中，X的概率密度为f()；E为引入的已知辅助随机变量，其概率密度为f(￡)，X与E相互独立；Y—g(X)的概率密度fr()待求。显然，X与E有联合密度f(z)^(￡)，Z对E有反函数E—Z—g(X)，雅可比行列式-厂一一1，由式(3)可求出Z的概率密度为：(厶r-厂Z()一Ifx()fE(z—g(z))dx(8)另外，由于X与E相互独立，则Y—g(X)与E相互独立，对式(7

7、)有卷积积分：rrfz(z)一Ify(2一e)^(e)de—Ify()fE(—)dy(9)式(8)仅对少数类型随机函数可通过反函数或换元法求得，一般情形下需采用数值积分。式(9)为第一类Fredholm积分方程。由式(8)求得fz(z)后，再由式(9)求得fr()。特别地，当E一0时，其概率密度为单位脉冲函数(亦称Dirac函数)：1f。O。，￡，E≠一o0，Lr。。d￡则Z—Y，式(8)变为：-，．y()一lfx(z)(—g(z))dx(10)式(10)含有广义函数(e)，仅对少数类型函数可利用广义函