最佳一致逼近多项式课件.ppt

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1、3.3最佳一致逼近多项式3.3.1基本概念及其理论设在中求多项式这就是最佳一致逼近或切比雪夫逼近问题.使其误差1显然，记为，定义7为与在上的偏差.若记集合的下确界为则称之为在上的最小偏差.设称其下界为0.的全体组成一个集合，（3.1）（3.2）2定义8（3.3）则称是在上的最佳一致逼近多项式定理4则总存在，这个定理是最佳逼近多项式的存在性定理.假定若存在使得简称最佳逼近多项式.若使或最小偏差逼近多项式，3定义9若在上有就称是的偏差点.若称为“正”偏差点.若称为“负”偏差点.由于函数在上连续，在一个点所以说的偏差点总是存在的.设因此，至少存使4要证明的是“负”的偏差点，这

2、样的点组称为切比雪夫交错点组.证明假定在上有个点使（3.4）成立，定理5即有个点，在上至少有个轮流为“正”、是的最佳逼近多项式的充分必要条件是使是在上的最佳逼近多项式只证充分性.（3.4）5用反证法，若存在，由于在点上的符号与故也在个点上轮流取“+”、“-”号.由连续函数性质，它在内有个零点，但因是不超过次的多项式，不能超过.使所以它的零点个数一致，6这说明假设不对，故就是所求最佳逼近多项式.必要性证明略.推论1若，充分性得证.则在中存在唯一的最佳逼近多项式.7证明且点是的切比雪夫交错点组，定理6在区间上所有最高次项系数为1的次多项式中，与零的偏差最小，其偏差为由于8由定

3、理5可知，即是与零的偏差最小的多项式.区间上在中最佳逼近多项式为定理得证.9由定理6可知，时，多项式与零偏差最小，求在上的最佳2次逼解由题意，所求最佳逼近多项式应满足当故例3近多项式.10就是在上的最佳2次逼近多项式.113.3.2最佳一次逼近多项式定理5给出了的特性，这里讨论具体求法.先讨论的情形.假定且在内不变号，求最佳一次逼近多项式.根据定理5可知,至少有3个点我们要使12即.由于在上不变号，故单调，在内只有一个零点，记为，另外两个偏差点必是区间端点，即且由此得到于是满足13解出代入（3.5）得（3.5）（3.6）这就得到最佳一次逼近多项式，其几何意义如图3-3.

4、（3.7）14直线与弦MN平行，且通过MQ的中点D，图3-3其方程为15由（3.6）可算出例4求在上的最佳一次逼近多项式.解又由（3.7），得故解得16即（3.8）误差限为于是得的最佳一次逼近多项式为17在（3.8）中若令则可得一个求根式的公式183.4最佳平方逼近193.4.1最佳平方逼近及其计算对及中的一个子集若存在，使（4.1）则称是在子集中的最佳平方逼近函数.20由（4.1）可知该问题等价于求多元函数（4.2）的最小值.是关于的二次函数，即利用多元函数求极值的必要条件21于是有（4.3）这个关于的线性方程组，称为法方程.由于线性无关，故于是方程组（4.3）有唯一

5、解从而得到22即对任何下面证明满足（4.1），（4.4）为此只要考虑有23由于的系数是方程（4.3）的解，从而上式第二个积分为0，故（4.4）成立.这就证明了是在中的最佳平方逼近函数.故于是24若令若取中求次最佳平方逼近多项式（4.5）则平方误差为则要在25此时若用表示对应的矩阵，（4.6）称为希尔伯特(Hilbert)矩阵.即26记（4.7）的解即为所求.则27例5设求上的一次最佳平方解得方程组逼近多项式.利用（4.7），得28解之故平方误差最大误差293.4.2用正交函数族作最佳平方逼近设若是满足条件(2.2)的正交函数族，而故法方程（4.3）的系数矩阵则30

6、为非奇异对角阵，（4.8）于是在中的最佳平方逼近函数为（4.9）且方程（4.3）的解为31由（4.5）可得均方误差为（4.10）由此可得贝塞尔(Bessel)不等式（4.11）32若，按正交函数族展开，（4.12）称这个级数为的广义傅里叶(Foureir)级数，讨论特殊情况，设是正交多项式，可由正交化得到，则有下面的收敛定理.得级数系数按（4.8）计算，系数称为广义傅里叶系数.它是傅里叶级数的直接推广.33定理7设考虑函数（4.13）的最佳平方逼近多项式，是由（4.9）给出的其中是正交多项式族，则有展开，由(4.8)，(4.9)可得按勒让德多项式34根据均方误差公式(4.

7、10)，平方误差为（4.15）由定理7可得其中（4.14）35如果满足光滑性条件,还有一致收敛于的结论.公式(2.6)给出了首项系数为1的勒让德多项式，定理8则对任意和当充分大时有设由(4.13)给出，它具有以下性质.36证明设是任意一个最高次项系数为1的次定理9勒让德多项式在上与零的平方误差最小.在所有最高次项系数为1的次多项式中，多项式，它可表示为37于是当且仅当时等号才成立，即当时平方误差最小.38例6求在上的三次最佳平方逼近多项式.解先计算39由傅里叶系数计算公式(4.14)得代入(4.13)得三次最佳平方逼近多项