资源描述：
《正交多项式和最佳一致逼近》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、第六章函数逼近用简单的函数p(x)近似地代替函数f(x)，是计算数学中最基本的概念和方法之一。这种近似代替又称为逼近，函数f(x)称为被逼近的函数，p(x)称为逼近函数，两者之差称为逼近的误差或余项。如何在给定精度下，求出计算量最小的近似式，这就是函数逼近要解决的问题函数逼近问题的一般提法：对于函数类A（如连续函数类）中给定的函数f(x)，要求在另一类较简单的且便于计算的函数类B（如多项式、三角函数类等）中寻找一个函数p(x)，使p(x)与f(x)之差在某种度量意义下最小。最常用的度量标准为：一致逼近、平方逼近(一)一致逼近以函数f(x)和p(x)的最大误差作为度量误差f(x)－p(
2、x)的“大小”的标准在这种意义下的函数逼近称为一致逼近或均匀逼近对于任意给定的一个小正数>0，如果存在函数p(x)，使不等式成立，则称该函数p(x)在区间[a,b]上一致逼近或均匀逼近于函数f(x)。(二)平方逼近：采用作为度量误差的“大小”的标准的函数逼近称为平方逼近或均方逼近。§1正交多项式一、正交函数系的概念考虑函数系1，cosx，sinx，cos2x，sin2x，…，connx，sinnx，…此函数系中任何两个不同函数的乘积在区间[-,]上的积分都等于0！我们称这个函数中任何两个函数在[-,]上是正交的，并且称这个函数系为一个正交函数系。若对以上函数系中的每一个函数
3、再分别乘以适当的数，使之成为：那么这个函数系在[-,]上不仅保持正交的性质，而且还是标准化的(规范的)，即每个函数的平方在区[-,]上的积分等于1。1．权函数定义1设(x)定义在有限或无限区间[a,b]上，如果具有下列性质：(1)(x)≥0，对任意x[a,b]，(2)积分存在，(n=0,1,2,…)，(3)对非负的连续函数g(x)若则在(a,b)上g(x)0称(x)为[a,b]上的权函数2．内积定义2设f(x)，g(x)C[a,b]，(x)是[a,b]上的权函数，则称为f(x)与g(x)在[a,b]上以(x)为权函数的内积。内积的性质：(1)(f,f)≥0，且
4、(f,f)=0f=0；(2)(f,g)=(g,f)；(3)(f1+f2,g)=(f1,g)+(f2,g)；(4)对任意实数k，(kf,g)=k(f,g)。3．正交定义3设f(x)，g(x)C[a,b]若则称f(x)与g(x)在[a,b]上带权(x)正交。定义4设在[a,b]上给定函数系{k(x)}，若满足条件则称函数系{k(x)}是[a,b]上带权(x)的正交函数系。若定义4中的函数系为多项式函数系，则称为以(x)为权的在[a,b]上的正交多项式系。并称pn(x)是[a,b]上带权(x)的n次正交多项式。特别地，当Ak1时，则称该函数系为标准正交函数系。二、常用的正
5、交多项式1．切比雪夫(чебыщев)多项式定义5称多项式为n次的切比雪夫多项式(第一类)。切比雪夫多项式的图形：T0(x),T1(x),T2(x),T3(x)切比雪夫多项式的性质：(1)正交性：由{Tn(x)}所组成的序列{Tn(x)}是在区间[-1,1]上带权的正交多项式序列。且(2)递推关系相邻的三个切比雪夫多项式具有三项递推关系式：(3)奇偶性：切比雪夫多项式Tn(x)，当n为奇数时为奇函数；n为偶数时为偶函数。(4)Tn(x)在区间[-1,1]上有n个不同的零点(5)Tn(x)在[-1,1]上有n+1个不同的极值点使Tn(x)轮流取得最大值1和最小值-1。(6)切比雪夫多项
6、式Tn(x)的最高次项系数为2n-1(n=1,2,…)。定理1在-1≤x≤1上，在首项系数为1的一切n次多项式Hn(x)中与零的偏差最小，且其偏差为即，对于任何，有2．勒让德(Legendre)多项式定义6多项式称为n次勒让德多项式。勒让德多项式的图形：P0(x),P1(x),P2(x),P3(x)(1)正交性勒让德多项式序列{pn(x)}是在[-1,1]上带权(x)=1的正交多项式序列。勒让德多项式的性质：(2)递推关系相邻的三个勒让德多项式具有三项递推关系式：(3)奇偶性：当n为偶数时，pn(x)为偶函数；当n为奇数时，pn(x)为奇函数。(4)pn(x)的n个零点都是实的、相
7、异的，且全部在区间[-1,1]内部。3．其它常用的正交多项式(1)第二类切比雪夫多项式定义7称为第二类切比雪夫多项式。①{un(x)}是在区间[-1,1]上带权函数的正交多项式序列。②相邻的三项具有递推关系式：(2)拉盖尔(Laguerre)多项式定义8称多项式为拉盖尔多项式。①{Ln(x)}是在区间[0,+∞]上带权(x)=e-x的正交多项式序列。②相邻的三项具有递推关系式：(3)埃尔米特(Hermite)多项式定义9称多项式为埃尔米特多项式。的正交多
