唯一性定理镜像法课件.ppt

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1、3.4惟一性定理边值问题的分类狄里赫利问题：给定整个场域边界上的位函数值纽曼问题：给定待求位函数在边界上的法向导数值混合边值问题：给定边界上的位函数及其法向导数的线性组合惟一性定理：在给定边界条件下，泊松方程或拉普拉斯方程的解是惟一的。用反证法可以证明。惟一性定理为某些复杂电磁问题求解方法的建立提供了理论根据。镜像法就是惟一性定理的直接应用。3.5、镜像法镜像法概念：在一定条件下，可以用一个或多个位于待求场域边界以外虚设的等效电荷来代替导体表面上感应电荷的作用，且保持原有边界上边界条件不变，则根据惟一性定理，空间电场可由原来

2、的电荷和所有等效电荷产生的电场叠加得到。这些等效电荷称为镜像电荷，这种求解方法称为镜像法。理论依据：惟一性定理是镜像法的理论依据。应注意的问题：镜像电荷位于待求场域边界之外。将有边界的不均匀空间处理为无限大均匀空间，该均匀空间中媒质特性与待求场域中一致。实际电荷(或电流)和镜像电荷(或电流)共同作用保持原边界处的边界条件不变。待求场域：上半空间边界：无限大导体平面边界条件：点电荷对无限大接地导体平面的镜像导体平面导体平面在空间的电位为点电荷q和镜像电荷-q所产生的电位叠加，即电位满足边界条件导体平面边界上：上半空间的电场强度

3、：电位：导体表面感应电荷（导体与介质的边界条件）导体表面上感应电荷总量导体表面上感应电荷对点电荷的作用力线电荷对无限大接地导体平面的镜像将无限长的线电荷看作无数个点电荷的集合。根据点电荷对无限大接地导体平面的镜像原理，可得到线电荷对应的镜像电荷仍为平行于导体表面的线电荷，其电荷密度为待求场域中的电位3.点电荷对半无限大接地导体角域的镜像由两个半无限大接地导体平面形成角形边界，当其夹角为整数时，该角域中的点电荷将有(2n-1)个镜像电荷，该角域中的场可以用镜像法求解:当n=2时：该角域外有3个镜像电荷q1、q2和q3，位置如图

4、所示。其中当n=3时：角域夹角为π/n，n为整数时，有(2n－1)个镜像电荷，它们与水平边界的夹角分别为n不为整数时，镜像电荷将有无数个，镜像法就不再适用了；当角域夹角为钝角时，镜像法亦不适用。角域外有5个镜像电荷，大小和位置如图所示。所有镜像电荷都正、负交替地分布在同一个圆周上，该圆的圆心位于角域的顶点，半径为点电荷到顶点的距离。4.点电荷对导体球面的镜像设一点电荷q位于半径a为的接地导体球附近，与球心的距离为d，如图所示。待求场域为r>a区域，边界条件为导体球面上电位为零。设想在待求场域之外有一镜像电荷q′，位置如图所示

5、。根据镜像法原理，q和q′在球面上的电位为零。点电荷与接地导体球周围的电场aa在球面上任取一点c，则空间任意点的电位：导体球不接地：a—a导体球不接地：根据电荷守恒定律，导体球上感应电荷代数和应为零，就必须在原有的镜像电荷之外再附加另一镜像电荷q″=－q′球外任一点电位：球面上任一点电位：为了保证球面为等位面的条件，镜像电荷q″应位于球心处。例3：有一接地导体球壳，内外半径分别为a1和a2，在球壳内外各有一点电荷q1和q2，与球心距离分别为d1和d2，如图所示。求：球壳外、球壳中和球壳内的电位分布。球壳外：边界为r=a2

6、的导体球面，边界条件为根据球面镜像原理，镜像电荷的位置和大小分别为球壳外区域任一点电位为解：球壳内：边界为r=a1的导体球面，边界条件为根据球面镜像原理，镜像电荷的位置和大小分别为球壳内区域任一点电位为球壳中：球壳中为导体区域，导体为等位体，球壳中的电位为零。用镜像法解题时，一定要注意待求区域及其边界条件，对边界以外的情况不予考虑。