镜像法和电轴法课件.ppt

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1、§1-5分离变量法1分离变量法综述一、应用场合：二、基本思想：假定待求的位函数由两个或三个仅含有一个坐标变量的函数的乘积表示；把假定的函数（试探解）代入偏微分方程，借助于“分离变量”，将偏微分方程转化为两个或三个常微分方程；解这些常微分方程并根据边界条件确定待定常数和函数；得到位函数的解。场域的分界面与正交坐标系的坐标面重合21.5.1直角坐标系中的分离变量法一、推导：（仅讨论二维拉普拉斯方程的解法）拉普拉斯方程：=0▽2假定待求的位函数为试探解：(x,y)=X(x)Y(y)把试探解代入，将偏微分方程转化为常微分方程：设X(x)、Y(y)均不

2、为0：=得两个常微分方程：3一、推导：常微分方程:3.解常微分方程并根据边界条件确定待定常数和函数若=kn2：得电位函数的一般解：X(x)=A0x+B0Y(y)=C0y+D0当kn0时：常微分方程的解为：X(x)=Anch(knx)+Bnsh(knx)Y(y)=Cncos(kny)+Dnsin(kny)(x,y)=X(x)Y(y)=(A0x+B0)(C0y+D0)b.若=-kn2：(x,y)=X(x)Y(y)=(A0x+B0)(C0y+D0)当kn=0时：常微分方程的解为：1.5.1直角坐标系中的分离变量法4例一、长直金属槽如图.三边

3、接地,另一边电位为V0,求槽内电位分布.解：由方程：=0=V0a0xyb=0=0金属槽内

4、(x=0,0

5、(y=0,0

6、(y=b,0

7、(x=a,0

8、0金属槽内

9、(x=0,0

10、(y=0,0

11、(y=b,0

12、(x=a,0

13、的分离变量法一、推导：（仅讨论二维拉普拉斯方程的解法）常微分方程:3.解常微分方程并根据边界条件确定待定常数和函数若=m2：要满足周期性：R()=A0ln+B0Q()=C0+D0当m0时：常微分方程的解为：R()=Amm+Bm-mQ()=Cmcos(m)+Dmsin(m)(,)=R()Q()=(A0ln+B0)(C0+D0)m=整数=n当m=0时：常微分方程的解为：Q()=Q(+2)Q(m)=Q(m+2m)b.若=-m2：不满足周期性，舍去。8解：由方程：1

14、(=a)=2

15、(=a)E

16、0a220xy11=0▽22圆柱体内=0▽21圆柱体外(,)=(A0ln+B0)(C0+D0)分界面条件(,)=(,-)(,)=(,+2k)对称性1

17、()=-E0cos外加场均匀由对称性：002

18、(=0)=0(,)=A0ln+B01.5.2圆柱坐标系中的分离变量法例一、长直介质圆柱体放在均匀的外电场中，如图。求圆柱体放入后场中的电位分布。9例一、长直介质圆柱体放在均匀的外电场中，如图。求圆柱体放入后场中的电位分布。解：1

19、(=a)=2

20、(=a)E0a220xy1

21、11

22、()=-E0cos2

23、(=0)=0(,)=A0ln+B01.由外加场均匀：外加场均匀-E0cos0=A0ln+B000(n>1)1(,)=2.由2

24、(=0)=0：=A0ln0+B000002(,)=1.5.2圆柱坐标系中的分离变量法10例一、长直介质圆柱体放在均匀的外电场中，如图。求圆柱体放入后场中的电位分布。解：1

25、(=a)=2

26、(=a)E0a220xy111.由分界面条件：1(,)=2(,)=n=1：-E0a+B1a-1=A1a1(-E0+B1a-2)=2A

27、1A1=-[1-(2-1)/(2+1)]E0B1=(2-1)/(2+1)a2E0An=0Bn=0n1：1.5.2圆柱坐