Chapter3.1解的存在唯一性定理与逐步逼近法课件.ppt

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1、第三章第1节解的存在唯一性定理与逐步逼近法7/28/20211第三章第节3.1.1存在唯一性定理1.一阶微分方程f(x,y)在矩阵区域R:

2、xx0

3、a,

4、yy0

5、b上连续利普希茨条件若对函数f(x,y)存在常数L>0,使得对所有(x,y1),(x,y2)R都成立不等式

6、f(x,y1)f(x,y2)

7、L

8、y1y2

9、,则称函数f(x,y)在R上满足利普希茨条件.定理1如果f(x,y)在矩形区域R上连续且关于y满足利普利茨条件,则方程(3.1)存在唯一的解y=(x),定义于区间

10、xx0

11、h上,连续且满足初值条件(x0)=y0.7/28/

12、20212第三章第节皮卡(Picard)逐步逼近法思路(区间取为x0xx0+h)(1)证明求微分方程的初值问题的解等价于求积分方程的连续解;(2)取一连续函数0(x)进行迭代求解,构造函数序列:0(x),1(x),2(x),…n(x)…;(3)如果上述过程可无限地进行,则证明此过程构造的函数列收敛于某一连续函数(x);(4)证明上述解是唯一的;…7/28/20213第三章第节皮卡逐步逼近法命题1设y=(x)是方程(3.1)的定义于区间x0xx0+h上,满足初值条件(x0)=y0的解,则y=(x)是积分方程定义于x0xx0

13、+h上的连续解,反之亦然.证明:“=>”:由y=(x)是方程(3.1)的定义于区间x0xx0+h上,满足初值条件(x0)=y0的解有7/28/20214第三章第节两边从x0到x积分可得将初始条件(x0)=y0代入即得到所以y=(x)是积分方程(3.5)的定义于x0xx0+h上的连续解.“<=”:设y=(x)是积分方程(3.5)的定义于x0xx0+h上的连续解,则有两边对x求导得又上述积分方程显然满足初始条件,所命题成立.7/28/20215第三章第节取0(x)=y0,构造皮卡逐步逼近函数序列:7/28/20216第三章第节命题2命题2

14、对于所有的n,函数n(x)在x0xx0+h上有定义,连续且满足不等式

15、n(x)y0

16、b.证明:(用数学归纳法)当n=1时,显然在x0xx0+h上是有定义,并是连续的;并且7/28/20217第三章第节假设命题当n=k时成立,即在x0xx0+h上是有定义、连续用满足则由于k(x)的连续性,知k+1(x)在x0xx0+h也显然上是有定义和连续的.并且所以当n=k时命题也成立,从而命题2对一切n都成立.7/28/20218第三章第节命题3命题3函数序列{n(x)}在x0xx0+h上是一致收敛的.证:由级数与数列的关系:级数收敛

17、等价于部分和数列收敛.考虑级数它的部分和恰为因此要证明函数序列{n(x)}在x0xx0+h上一致收敛只须证明上述级数一致收敛即可.7/28/20219第三章第节由于函数f(x,y)对y满足利普希茨条件

18、f(x,y1)f(x,y2)

19、L

20、y1y2

21、则有(命题2应用于此:n(x)都落在区域R内)同理7/28/202110第三章第节设对正整数k有则对正整数k+1有从而由数学归纳法知对任一正整数n有7/28/202111第三章第节从而对级数而言有上式是收敛的正项级数,因此由M判别法(魏尔斯特拉斯判别法)知,左端的级数收敛,故函数列{n(x)}在x0

22、xx0+h上一致收敛.7/28/202112第三章第节设则函数(x)也在x0xx0+h上连续，且有

23、(x)y0

24、b.7/28/202113第三章第节命题4命题4(x)是积分方程(3.5)的定义于x0xx0+h上的连续解.证明:因为函数列{n(x)}一致收敛于(x),加之利普希茨条件

25、f(x,n(x))f(x,(x))

26、L

27、n(x)(x)

28、可知函数列{f(x,n(x))}收敛于f(x,(x)).因此,两边取极限有所以(x)是积分方程定义于x0xx0+h上的连续解.7/28/202114第三章第节命题5命题5设(

29、x)是积分方程(3.5)的定义于x0xx0+h上的另一连续解,则(x)=(x).证明:由命题1可知只要证明(x)也是函数列{n(x)}的极限函数即可.由于7/28/202115第三章第节假设对正整数n1时有则对正整数n有因此,由数学归纳法可和,上述公式对所有正整数都成立.即上式右端是收敛级数的一般项,当n时它趋于零,因而函数列{n(x)}一致收敛于(x),由极限的唯一性,有(x)=(x).7/28/202116第三章第节注1存在唯一性定理中数h的几何意义.注2由于利普希茨条件比较难检验,常用f(x,y)在R上有对y的连续偏导数来代替

30、.即用函数f(x,y)对y的偏导数的绝对值的上界来代