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1、五.Gauss型求积公式第7章数值微分与数值积分目的求积公式:当节点数n固定时,选取适当的节点{xk}及系数{Ak},使其具有最高的代数精度.为权函数.对所有精确成立.Gauss型求积公式的思想回顾:若具有m次代数精度,则:其中,这里有m+1个方程,未知量有2n个:xi,Ai(i=1,2,…,n)可以证明:当m+1≤2n,即m≤2n-1时,方程有解.求积公式的最大代数精度即,当m=2n-1时,可以找到一组解{xk},{Ak},使积分公式成立,即代数精度可以达到2n-1.求积公式不精确.第7章数值微分与数值积分Gauss型积分
2、公式的定义另一方面,当m=2n时,取一个特殊的多项式:求积公式:而精确解:结论:n个节点的积分公式最高代数精度为2n-1.对于n个节点的积分公式:,如果具有2n-1次代数精度,则称为带权函数的Gauss型求积公式.xi称为Gauss点.如何求Gauss点及积分系数直接求解上面的非线性方程组比较困难,可采用正交多项式来求.Gauss点与正交多项式的关系从简单问题得到的启示第7章数值微分与数值积分当n=2,要使具有2n-1=3次代数精度,则对任意3次多项式P3(x),利用多项式除法,因为积分公式具有3次精度,对成立.精确成立.从
3、简单问题得到的启示（续）第7章数值微分与数值积分分别取:解得:Gauss点再取两个特殊的多项式,如:于是,求积公式:具有3次代数精度.推广到一般n节点的情况第7章数值微分与数值积分将任意不超过2n-1次的多项式写为:其中,都是不超过n-1次的多项式.要求积分公式具有2n-1次代数精度,则精确成立.即而精确成立.对次多项式q(x)成立.称为正交条件分别令q(x)=1,x,x2,…,xn-1,得到n个方程,解出xi(i=1,2,…,n).下面证明,xi一定是Gauss点.定理7.4Gauss积分点的充要条件第7章数值微分与数值积
4、分即,n点积分公式中,xi(i=1,…n)为Gauss点其中,的充要条件是,对于任意不超过n-1次的多项式p(x),与在[a,b]区间上关于权函数正交,即,证明.[必要性]若xi(i=1,…,n)为Gauss点,则对于任意不超过n-1次的多项式p(x),是不超过2n-1次的多项式,Gauss积分精确成立,即,满足正交条件必要性得证.定理7.4【证明】(续-1)第7章数值微分与数值积分[充分性]对于任意不超过n-1次的多项式q(x),正交条件成立:对于任意不超过2n-1次多项式,总可以写成:不超过n-1次的多项式且充分性假设…
5、…….(*)下面证明,以xi为积分点,一定能找到合适的Ai,使精确成立.这样,积分公式至少具有2n-1次代数精度,xi即为Gauss点.为此,取Ak满足:定理7.4【证明】(续-2)第7章数值微分与数值积分对于任意不超过n-1次的多项式r(x),可写成:这样,积分公式至少具有2n-1次代数精度,xi即为Gauss点.证毕#Vandermonde矩阵,非奇异.有唯一解即,注意到,于是,(*)式:精确成立.Gauss点正好是正交多项式的根第7章数值微分与数值积分由第6章定理6.3:如果正交多项式的k个根为:xi(i=1,…,k)
6、,则:c是给定的常数.对次多项式Qk-1(x)成立.设是最高次系数非零的k次多项式,则是[a,b]上关于权函数的正交多项式的充要条件是,对任意次数不超过k-1次的多项式,都有:由定理7.4,xi一定是Gauss积分点.故Gauss点正好是正交多项式的根.如何求Gauss积分系数Ai第7章数值微分与数值积分分别取n-1次多项式:则积分公式:精确成立.求Gauss型积分系数的公式其中也可写成:故,其中,可分别取不超过n-1次多项式:1,x,x2,…,xn-1,代入积分公式,解n个联立方程组,得到Ai.这样做比较麻烦.较方便的方法
7、如下:Gauss求积公式的误差及稳定性定理7.5Gauss型求积公式的误差公式第7章数值微分与数值积分设f(x)在[a,b]上2n阶连续可微,则带权函数的Gauss型求积公式的误差(余项)为:其中,M与f(x)无关.证明.用节点x1,…,xn构造2n-1次的Hermite插值多项式H(x),满足:且,精确成立.插值余项:定理7.5证明（续）第7章数值微分与数值积分进一步还可以证明,当时,Gauss型求积公式收敛于精确解,在[a,b]内不变号运用积分第一中值定理,存在,使得:证毕#即,证明.(略)Gauss积分是数值稳定性的第
8、7章数值微分与数值积分Gauss求积时,不会因为Gauss点数增加而使得舍入误差无限扩大——即,Gauss积分是数值稳定的.证明.通常,Gauss点及积分系数是事先计算好的,可以计算得比较精确.因此,误差主要来自于函数值的计算.记函数值的近似值为则积分公式的计算误差:记,则,下面证明:Ga
