一类二元叠加码的构作及其d界-论文.pdf

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1、第44卷第17期数学的实践与认识V01．44．NO．172014年9月MATHEMATICSINPRACTICEANDTHEORYSep．，2014一类二元叠加码的构作及其d界王少或，于娜，邓超公(1．邯郸学院数学系，河北邯郸056000)(2．张家口职业技术学院基础部，河北张家口075150)摘要：首先介绍了一种具有参数d，r的二元叠加(d，n，r)一码及偶特征正交空间上子空间的一些包含性质，然后利用这些性质及相关知识构作了二元叠加(d，礼，r)一码并给出了其参数d的界．关键词：二元叠加(d，n，．r)一码；偶特征正交空间；界1引言及预备知识分组测试理论起源

2、于二战期间为了确定n个血样中含有病毒的血样问题，它的组合分支被称为组合分组测试理论(combinatorialgrouptesting)，由于它在化学渗透试验、电子电路检验、编码理论、密码学、分子生物学、DNA测试等领域有着广泛的应用而得以迅速发展．1964年，Kautz和Singleton在他们开创性的论文中首先提出了一类二元叠加码ZFD．~码【1J，后来，发展成为组合分组测试理论的典型数学模型，被称为d-disjunct矩阵(d—disjunct矩阵是一个二元矩阵，它的列由所有的被检测项目来标注，行由所有的pool来标注，矩阵(i，J)位置的表值是1当且仅

3、当第i个pool包含第J个项目否则为0．这个矩阵具有如下性质：矩阵的任意d+1列，⋯，中的任意d列的布尔和的并都不包含其它任意一列)．由于多方面的原因，在利用二元叠加码d-disjunct矩阵时，试验的输出结果可能出现错误，因此仅有d—disjunct矩阵模型是不够的，还需要具有较强检错和纠错能力的数学模型．Dyachkov和Rykov扩展了d—disjunct矩阵的概念，提出了(d，r)一disjunct矩阵【2J．Huang和Weng证明了一个(d，e)一disjunct矩阵能够检测出试验结果中的e个错误并能纠正I号j个错误[3】．所以，构建容错和纠错能力

4、强的分组测试模型成为非适应性分组测试理论的中心问题之一．2007年Dyachkov等人证明了“把两部算法用到ddisjunct矩阵中可以纠正试验结果中出现的e个错误【4】．”关于这方面的最新研究可参阅文献【5-8]．下面我们利用偶特征正交空间上一类子空间来构作(d，e)一disjunct矩阵并给出这一矩阵的性质．先，我们介绍偶特征正交空间卧中与本文相关的一些符号、概念及计数定理．关于偶特征正交空间蚪的详细介绍可参阅文献[9]．令P是F叶的一个m维子空间，秩为m的m×(2u+5)矩阵也用P表示，它的行向量扩张为一个子空间P'并且叫这个矩阵P为这个子空间P的矩阵表

5、示．在2+维特征收稿日期：2014—01—22资助项目：张家口市新能源与信息化产业专项课题(12110019B)17期王少或，等：一类二元叠加码的构作及其d界313为2的有限正交空间F上的一个m维子空间P是一个关于G2蚪的(m，2s+7，s，r)型子空间，其中=0，1，2；J1：或0，如果分别有C2+1∈P或e2+1尸'=7=1，l，并且咖可以省略，所有其它情形．如果PG2蚪6P合同于M(m，2s+，s)．特别，当2s+=0时，(m，2s+7，s，F)型子空间叫做m维全奇异子空间．令M(m，2s+7，s，r；2v+5)表示Ⅲ'蚪)上(m，2s+，s，F)型子空

6、间的集合．令N(m，2s+7，F；2v+)=IM(m，2s+7，s，r；2v+)l_令P是Ⅲ'蚪∞上一个给定的(m，2s+7，8，F)型子空间，A4(ml，2Sl+，81，F1；m，2s+7，s，r；2v+)表示包含在P中的(ml，2sl+7，8l，F1)型子空间集合且N(ml，281+一y1，81，F1；m，2s+，8，r；2L,+)=IM(ml，2sl+1，S1，F1；m，2s+7，s，F；2+5)J令尸1是F蚪)上一个给定的(m1，2s1+1，s1，r1)型子空间，M(m1，2s1+71，s1，r1；m，2s+，8，r；2v+5)表示包含Pl的(m，2s

7、+，8，F)型子空间集合且Nml，281+71，81，F1；m，2s+一y，8，r；2+)=l(仇1，2sl+1，81，F1；m，2s+，s，r；2v+)l弓I理1．1[加]令0rrn．1)在(2+)维正交空间上包含一个给定的r维全奇异子空间的m维全奇异子空间个数是⋯，o=2川，=2)在(2+)维正交空间上一个给定的m维全奇异子空间包含r维全奇异子空间个数是m兀(qi一1)N(r，0，0；m，0，0；2+)=兰l_一兀(q一1)=1引理1．2[】设co：i表示一个二元矩阵M第J列的权重，九J表示M的任意两列第i列、第J列的点积，令=m!nw5，=maxAq，则

8、二元矩阵M是一个d—disjunct矩