圆内接三角形的一个性质及应用 专题辅导

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1、圆内接三角形的一个性质及应用五方向王永梅性质：三角形任意两边的乘积等于第三边上的高与其外接圆直径的乘积。已知圆O是△ABC的外接圆，AD是边BC上的高，AE是圆O的直径。求证：AB·AC=AD·AE。证明：如图1所示，连结BE，则有图1又AD上是边BC上的高，所以故即因此，AB·AC=AD·AE。该性质应用非常广泛，巧妙地应用此性质解题，能简化解题过程。现举例说明如下：1.证明等积式例1.如图2所示，已知AB为圆O的一条弦，C、D在圆O上且在AB的同侧，求证：AD·BD·CE=AC·BC·DF。图2证明：设圆O的直径为d，则AD·BD=DF·dAC·BC=CE·d3两式相乘得AD·BD·CE·

2、d=AC·BC·DF·d即2.证明比例式例2.已知圆O的内接四边形ABCD的对角线BD平分AC于E。求证；。证明：如图3所示，分别过点A、C作。图3设圆O的直径为d，则3.证明定值例3.两圆相交于两点A、B，经过交点B的任意一直线和两圆分别相交于点C、D。求证：AC与AD的比为定值。证明：如图4所示，连结AB，过A作图4设圆O1、圆O2的直径分别为，则，两式相除，得（为定值）。34.求函数式例4.如图5所示，已知圆O的内接△ABC中，AB+AC=12，且AD=3。设圆O的半径为y，AB的长为x。求y与x之间的函数关系式，并指出自变量x的取值范围。图5解：连结AO，并延长交圆O于E，则因为△AB

3、D、△ACD均为直角三角形，且AD=3，所以即自变量x的取值范围是。练习：已知AC、BD是圆O的内接四边形的两条对角线，且。求证：是定值。3