抛物线内接三角形切于定圆的一个性质

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1、·专论荟萃·数学通讯一2014年第6期(下半月)-39}：y式口J得交点P在直线一bz上，且四边形OAPB为平(1+．)，2)一6(z1+2)’行四边形．，‘abk．b、一，2k2+推论设点A在双曲线E1上，点13在双曲线一／b2~-aE2上，且满足忌OA‘七0B=一b2c+一o，，则(1)}一z；=a，Y}一Yi=一b2；于是可得bxo—ay0=0，这表明：直线zl、2的(2)IOAl一IOBI2=a2一b2．交点P在直线=上．又由⑤式知直线的斜率为bexl，故愚f参考文献：[1]姜坤崇．椭圆中利用1的

2、巧代换解题几例[J]。高中数忌OA=b2Xl··=等，而志·∞=b2，所以kll=学教与学，2011(11)．[2]姜坤崇．关联椭圆、双曲线的几个有趣性质[J]．数学同理可证：直线l2／／直线OA．因此，四边形通讯(上半月)，2012(4)．OAPB为平行四边形．(收稿日期：2014—02—20)当koA<0，kon<0时，同理可证：直线l、z2的抛物线内接三角形切于定圆的一个性质李世臣赵磊(河南省周口市川汇区教体局教研室，466001)(河南省周口市第四初级中学，466000)例题如图1，过抛物线h满足

3、关系r=(h一口r)．当h=(zr+r时，x(o，lY=上的点A向圆z+(Y^)是／xABC的内心；当h=盘r一r时，，(0，h)是一2)=1引两条切线AB、／xABC的旁心．AC，分别交抛物线于点B、解析设A(，以m)，B(z1，口z})，C(2，C，连结BC，证明BC也是圆DBi；)，则易求得：直线AB的方程为a(z1+z)—的切线．Y—aTllx1=0，直线AC的方程为盘(z2+7)—y这是文[1]中的例3，文图1一口僦2=0，直线BC的方程为口(1十z2)z—Y—[2]提出了一些看法，笔者将延续作

4、者的思路将问题ax．120．进一步推广，探索出抛物线内接三角形切于定圆的由圆心，(0，)到直线AB的距离为r，得一个有趣结论．一~／+一一：=，-，化1，简r‘{f得i性质过抛物线Y=ax上的点A向圆z+(l+)+l～、一～。(Y—h)=r引两条切线AB、AC，分别交抛物线a2(?Tt2一r2)z}+2am(h一。r2)z1十(h2一r2于点B、C，连结t3C，若BC也是圆的切线，则a、r、一以2r2)=0①40数学通讯一2014年第6期(下半月)·专论荟萃-f司理司得由于对的任意可能取值方程都成立，所以

5、A口2(7)22～r2)；+2am(一at"2)2+(h2一，．2=0，即r一(^一at")=0．一nr)=0②所以，当，．=(h—aT")时，直线BC与o，相由①②知32．1、2是一元二次方程a(m2一r2)切．·+2am(h—aF)32+(h一r一a2r2／-n2)=0的当h=at"+r时，f是△ABC的内切圆的圆两个根，从而有心，如图2，文首例题就属于这种情形；当h=nr2一Xl十+一一(二堡12r时，J『是AABC的旁切圆的圆心，如图3．aLm。一r。J，h2—1．2一口2r2z2’．．③’1．．

6、：由圆心J(0，h)到直线BC的距离为r，得’一～0‘BD2ar2(1+x2)2一(+a．Tc1z2)2十r2=0．图2图3将1+2、12的值代人，整理得4a2m2r2·事实上，如果把A看作是抛物线上的主动点，(^一a／")一[ah(7一r)+(一r2一2r2m2)]2则BC始终和圆J相切，圆可看作直线BC的包络+a2r2(z2一r2)2=0，即4口2m2r2(h一口r2)2一曲线，这样我们可以从包络的角度出发作深人研究，[n(h—aT"2)72+(h2一r2一ahr2)]2+口2r2(7扎2一把问题一般

7、化．即考虑对于任意定圆Jr，从抛物线上r)=0，整理成关于m的方程向定圆引切线，探究经过切线与抛物线的另两个交[r一(h—aT")]a2m+212ar(h—nr2)2一点的直线的包络．(h一日r)(^一ahr一r)一aT"]口+[a2r6一(h2问题过抛物线=ax上的点A向定圆z2一ahr一r2)]=0．+(一h)：r引两条切线AB、AC，分别交抛物将方程对应于Aa+2Barn+C=0，其中线于点B、C，连结BC，探索直线BC的包络曲线的A=r一(h—at")，特征．．B=2at(h—a'F)一(h—at

8、")把③式中的z1十2、z1z2代入直线BC的方·(h一ahr一r)一口r程a(z1+z2)一一nz1322=0，得=2ar(一aY")一h(h一口，．)]x-y一一o-+r(一ar2)一口r4=(h—nr)(2ar一h)+r(h一2at)去分母得2am(h一口，．)z+a(z一r)+=(2at一h)[(h—at")～r](h一r一，．z)=0，=(h一2at)A，整理成关于7扎的一元二次方程a(．)J一口r)，zC=a2r一