从圆锥曲线的统一性探究其性质的一致性-论文.pdf

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1、《数学之友》2014年第16期从圆锥曲线的统一性探究其性质的一致性解题探索赵光辉(江苏省南京市雨花台中学，210012)椭圆、双曲线、抛物线在形式上不同，但实质上越大．存在统一性，有着相同或相似的共性．教师应该引导(3)椭圆的两焦点连线先演变成抛物线对称轴学生在原有知识体系的基础上加以拓宽、延伸，鼓励上自焦点出发的射线，再深变为双曲线上自焦点出学生充分地想象，大胆地猜想，发现椭圆、双曲线、抛发的两条无重合的射线．物线本质上的统一，从而培养学生辩证唯物主义的1．4截面截圆锥上的统一对立统一观点，运

2、动变化与极限的观念，以及学生的当不过顶点的截面截两对角圆锥时，所得圆锥数学素养、创新意识与能力．曲线为(图形见课本)．(1)当截面与圆锥的轴所成的角大于圆锥顶角1圆锥曲线的统一性的一半且小于90。时，得椭圆；(2)当截面与圆锥的轴所成的角等于圆锥顶点1．1定义的统一的一半时，得抛物线；三种曲线都是一个动点到定点F和定直线2的(3)当截面与圆锥的轴所成的角小于圆锥顶点距离之比等于常数，当01时分别的一半且大于或等于0。时，得双嗌线．为椭圆、抛物线、双曲线．用极限的观点可解析其

3、演变过程：先截得的圆1．2方程的统一锥曲线为椭圆时，固定截面的一条直线，截面往下旋在直角坐标系中，四种曲线都是一元二次方程，转的过程中，另一个顶点往下运动，当顶点在无穷远所以又称二次曲线．处时，所截曲线由椭圆演变为抛物线，然后顶点从无极坐标统一方程为：p=ep．穷远处返回至上方，演变为双曲线．e1．5天体运行的统一1．3图形的统一运动的天体受向心力和离心力的作用，天体运椭圆是封闭的曲线，而抛物线与双曲线是不封行的速度不同，它所获得的合力也不同，这样就形成闭的曲线，且双曲线有两支，那么他们之间似乎

4、不存了不同的运行轨道，如人造卫星发射的速度等于或在统一性．其实，当用无限的观点去看此问题，就可大于7．9千米／秒(第一宇宙速度即环绕速度)时，获得三者的统一性．它就在空中沿圆或椭圆轨道运行；当发射的速度等设一定直线与一定点，离心率为e，当e由小于于或大于11．2千米／秒(第二宇宙速度即脱离速1逐渐增大到大于1的过程中，三种曲线的变化规度)时，物体可以挣脱地球引力的束缚，成为绕太阳律为：运动的人造行星或飞到其它行星上去；当速度等于flI或大于16．7千秒(第三宇宙速度即逃逸速度)／，／，＼时，物体

5、将挣脱太阳引力的束缚，飞到太阳系以外的＼、／I--／‘＼宇宙空间去．例如：人造卫星、行星、慧星等由于运动’，一的速度的不同，它们的轨道是圆、椭圆、抛物线或双el曲线．(1)椭圆右顶点离F点越来越远，当e趋近于1时，右顶点处于无穷远处，曲线演变为抛物线．当e2圆锥曲线性质的一致性大于l时，右顶点超过无穷远处从左侧返回，演变为双曲线，或认为双曲线两支无限延伸交于无穷远处．椭圆、双曲线、抛物线三者的统一性，必然决定(2)椭圆左半部分开口越来越大，但越变趋扁，了他们的某些性质存在着相关性，

6、即如果一种曲线演变为抛物线，再深变为双曲线两支，且开口越来上存在某些性质，按照圆锥曲线的统一性，通过类比·66·《数学之友)2014年第16期的途径进行探索，那么在另外两条曲线上也存在某由抛物线白勺J陛质可以猜想其它二种曲线也具备同些相通的性质，它们或者相同，或者相近．样的性质，且形式一样，其证明过程只需利用圆锥曲线性质1：(】)以椭圆的焦点弦PQ为直径的圆与的极坐标方程统一给出，定值为三，相关命题如下：此焦点对应的准线相离．(2)以双曲线的焦点弦PQ为直径的圆必与此(2)过椭圆的焦点，作一直线

7、交抛物线于P、焦点对应的准线相交．Q，则南+亩定值(3)以抛物线的焦点弦PQ为直径的圆必与准(3)过双曲线的焦点F作一直线交抛物线于线相切．三者形式统一，状态各异，恰好揭示了直线与圆P、Q，则+=定值·的三种位置关系，它决定于半径长与焦点弦中点到性质4：(1)若过椭圆焦点的两条弦MN和尸Q准线距离之比小于1、大于1、等于1，即离心率相关联．互相垂直，则而+定值·性质2：(1)以抛物线的焦半径为直径的圆必与(2)若过双曲线焦点的两条弦MN和PQ互相过顶点且垂直于对称轴的直线相切．C曰垂直，则而+l

8、-定值·简证：=_——(3)若过抛物线焦点的两条弦MN和PQ互相导+IBPI0垂直，则而+定值·——————一三个性质叙述完全一样，其证明过程也只需利IPClIPFI用圆锥曲线的极坐标方程统一给出，其中定值22’所以o与直线Z相切．为．此时进一步分析，得不出“以椭圆的焦半径为性质5：(1)过椭直径的圆必与过对应顶点且垂直长轴的直线相切或圆上任意两条平行弦相离”等关系，这时如果用图形统一性的观点来分中点的直线必过椭圆A。析，发现(1)中过顶点且垂直于对称轴的直线在椭的中心．===：圆中为以长轴为直