圆锥曲线的统一性.doc

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1、圆锥曲线的统一性zhaoqingmu椭圆、双曲线和抛物线都是可以由平面截圆锥面得到的截线，故而将这三种曲线统称为圆锥曲线。以圆锥曲线的统一性为题从以下几个方面作了研究。一、方程形式的统一：在几何上，椭圆、抛物线和双曲线是外形极不相似的三种曲线，很难看出它们之间有什么内在的联系。可是从代数上说，它们的方程有统一的形式：⑴在平面直角坐标系中，圆锥曲线都可以用二元二次方程来表示①当时，它表示椭圆；②当时，它表示抛物线③当时，它表示双曲线。代数式值的变化超过某一界限会引起曲线类型的改变；而这些曲线在代数上的区别只在于

2、方程系数的正负正负号！这一结论在天体物理方面是有具体应用的：①当人造卫星的初速度等于第二宇宙速度时，卫星的轨道是抛物线；②当人造卫星的初速度小于第二宇宙速度时，轨道变成椭圆；③当人造卫星的初速度大于第二宇宙速度时，轨道就成了双曲线的一支。另外，圆锥曲线还可用二次曲线：表示。⑵在极坐标系中，圆锥曲线也有统一的方程：①当时，该方程表示椭圆；②当时，该方程表示抛物线；③当时，该方程表示双曲线。利用该方程往往可使本来复杂的问题变简单。（参看第二部分的“性质2”）二、轨迹的统一：从点的集合或轨迹的观点看，圆锥曲线都是与

3、定点和定直线距离的比是常数的点的集合或轨迹，这个定点是它们的焦点，定直线是它们的准线，只是由于离心率取植范围的不同，而分为椭圆、双曲线和抛物线三种曲线。三、性质的统一：由于方程形式上的统一，圆锥曲线必然会有性质上的统一，即具有相似的性质。以下就其中的一小部分作些初步的探讨（以椭圆和双曲线为主）：性质1斜率为kL的直线L交椭圆于A、B两点，线段AB中点P，则kL•kOP=.斜率为kL的直线L交双曲线于A、B两点，线段AB中点P，则kL•kOP=.证明：（以椭圆为例）设A（x1，y1），B（x2，y2）在曲线上，

4、则有两式相减，得：又kL•kOP=证毕性质2直线L交圆锥曲线于A、B两点，且直线L过焦点F，则（为圆锥曲线的焦点到其对应准线的距离）.证明：设圆锥曲线极坐标方程为则有∴即证毕性质3直线L交椭圆或双曲线于A、B两点，且，则原点O到直线L的距离证明：（以椭圆为例）∵∴设则∴∴∴由三角形面积公式可得：证毕.性质4过椭圆长轴或双曲线实轴的端点的切线，与椭圆或双曲线上任一点的切线交于两点，则证明：（以椭圆为例）设椭圆上任一点则过P点的切线的方程为：即（*）过的切线的方程：∴，代入方程（*）后可知：∴证毕.性质5点是椭圆

5、或双曲线上除去左顶点和右顶点外任一点，直线PA和PB的斜率分别为k1、k2，则证明：（以椭圆为例）∴证毕.性质6点是椭圆或双曲线上任一点，直线L是经过点P的切线，d是坐标原点O到直线L的距离，r1,r2是点P到左、右焦点F1和F2的距离，则证明：（以椭圆为例）直线L的方程为：则∴证毕