一类距离最值问题的探讨

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1、一类距离最值问题的探讨湖北省咸宁高级中学陈小燕437000在平面解析几何中有一类有关距离最值的问题是高考考查的重点和难点，其研究的方法多而杂往往不易被学生掌握，而研究解析几何距离的最值问题大多是以计算为出发点，因为方法选择的问题造成计算量过大，很多学生最后的表现是“有思路，没出路”，笔者通过对各种距离最值问题的分析，不难发现它们之间存在着一些规律，本文就一类定点到曲线上的动点之间的距离的最值问题作些探讨，供参考。类型一定点与直线上点的距离最值例1、已知定点点在直线上，求的最值。解析:在直线外根据几何意义只有最小值评析：定点到直线上点的距离实质就是点到直线上的动点之间距离的最小值。类型二定点

2、与圆上点的距离最值例2、求点到圆：上点A的最值。解析：圆：，圆心,半径点在圆外点到圆上点的最小值为点到圆C上点的距离的最大值为评析：定点到圆上的点的距离有最大值也有最小值，基于圆的特殊性，定点到圆上动点之间的距离的最值可转化为定点到圆心距离加半径或减去半径或半径减去定点到圆心的距离，这要取决于点在圆内还是点在圆外。类型三定点与椭圆上的点的距离最值例3、（1990年全国高考试题）设椭圆的中心是坐标原点，长轴在x轴上，离心率=，已知点（0，）到这个椭圆上的点的最远距离是。求这个椭圆的方程，并求椭圆上到点的距离等于的点的坐标。解析：本小题考查椭圆的性质,距离公式,最大值知识以及分析问题的能力.解

3、法1:根据题设条件,可取椭圆的参数方程是（，0≤<2π）.由=可得即设椭圆上的点到点的距离为,===-如果，即,则当时（从而）有最大值，由题设得由此可得=1,=2.所求椭圆的参数方程是由可得，椭圆上的点点到点的距离都为。解法2:设所求椭圆的直角坐标方程是由=可得即,设椭圆上的点到点的距离为,则===其中如果,则当时（从而）有最大值，由题设得由此得,与矛盾因此必有成立，于是当=-时（从而）有最大值，由题设得由此可得=1,=2.所求椭圆的直角坐标方程是由=-及求得的椭圆方程可得，椭圆上的点点到点的距离都为。评析：定点到定曲线上点的最值问题就复杂得多，就椭圆而言，若定点与焦点共线，且在长轴之外时

4、，此时距离最值即为长轴顶点处取得；除此以外距离的最值要取决于点与椭圆的相对位置有时也和离心率有关。类型四定点与双曲线上的点距离最值例4、曲线C:=()与轴的交点关于原点对称的点成为“望点”，以“望点”为圆心，凡是与曲线C有公共点的圆皆成为“望圆”。则当时，所有的“望圆”中，面积最小的“望圆”的面积为多少？分析：实际上是求和曲线=有交点的圆中的最小值，即可转化成求曲线=上的点到原点的距离。根据曲线的奇偶性我们知道这个距离是（0,1）到（0，-1）的距离的平方2和（0，1）到上任一点的距离中的小者。解析：解法1:令点(x,y)（x>0）为上任一点，则y=(y>0)∴r=x+(y-1)=x+()

5、=(x)()+2x-1≥2(x)()+2x-1=2(2-x)+2x-1=3(当且仅当x-1=即x=时取等号)∴r=∴最小望圆的面积为3解法2：令(x,y)（x>0）为上任一点，则x=+1（y>0）∴r=x+(y-1)=(+1)+(y-1)(展开后用不了重要不等式)令Z=(+1)+(y-1)(y>0)Z==0得y=则Z在（0，）上单调递减，在（，+∞）上单调递增∴y=时r=解法3：（在解法2中有这么多的平方，还可以想办法配方）令(x,y)（x>0）为上任一点，则x=+1（y>0）∴r=x+(y-1)=(+1)+(y-1)=（-y）+2（-y）+4=（-y+1）+3∴当且仅当-y+1=0即y=

6、时r=评析：就定点到双曲线上的点的距离的最值而言，也得取决于它们的相对位置，最值的求法也是多种多样，解法1中的式子的最值看起来只能用导数，但太繁琐了，但用重要不等式却很简便。解法2是我们最常用的求最值的方法，但这样的换元不常规，主要是考虑到结果的式子的结构用y表示更简洁，结果不能用重要不等式来解决，用配方很经典。通过上述四例的研究，不难看出列出求解距离最值的计算式是解题的出发点，关键是接下来如何有效利用函数的思想或是不等式的性质进行后续的研究成为了破题的关键，当然对于解析几何计算量大，往往还没开始算就有自我暗示算不出的这一畏难心态，需要学生在解题过程中不断磨练心理品质，逐步提高解决解析几何

7、问题的自信心与能力。（联系方式：湖北省咸宁市咸宁高级中学邮编：437000电话：陈小燕15997974227邮箱：chenxiaoyan5608@163.com）