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1、关于一类动点最值问题的探讨随着新课标的全面实施，人人学有价值的数学已深入人心。近几年来，动点最值问题频频出现在各地中考、竞赛试卷中。这类试题突出了对学生基本数学素质的测试，加强了探究和创新意识，培养了学生灵活运用知识解决实际问题能力，对学生思维能力的提高有较大的帮助，解这类题目要“以静制动”，即把动态问题，变为静态问题来解。本文试从以下几个方面对这类问题作一些简单的探讨。 一、题中出现一个动点。 1．知L为一条公路，A、B为公路两旁的两个村庄，现在公路上建一家商店，问建在何处时商店到两村庄到商店距离和最小？ 分析：作B关于L的对称点B’， 有MB=MB，于是MAMB=MAMB’≥AB
2、 (当且仅当从运动到AB’和L的交点M’ 时等号成立)，建在M’点符合条件。 2．如图，AB为⊙O直径，AB=2，OC为半径，OC⊥AB,D为AC三等分点，点P为OC上的动点，求APPD的最小值。 分折：作D关于OC的对称点D’， 于是有PAPD’≥AD’,（当且仅当P 运动到Po处，等号成立，易求AD’=。 3．在正方形ABCD中，点E为AB上一定点，且BE=10,CE=14,P为BD上一动点，求PEPC最小值。（2006全国初中数学竞赛浙江决赛） 分析：作E关于BD对称点E’，E’在AB上， 有PEPC=PE’PC≥E’C易求E’C=26。 4．如图，正方形ABCD边长为
3、16，P、Q分别是BC、CD上的定点，且BP=3,DQ=1,E为对角线上一动点，求EPEQ最小值。 分析：作Q关于BD对称点Q’ EPEQ=EPEQ'≥PQ’过Q’作Q’M⊥BC,易求 5．正三角形ABC边长为a，D为BC的中点，P是AC边是的动点，连结PB，PD得到△PBD求： （1）当点P运动到AC的中点时，△PBD的周长。 （2）△PBD的周长的最小值。（第十六届“希望杯”全国数学邀请赛，初二） 分折：（1）易求△PBD周长为 (2)作B关于AC所在直线的对称点B’, 易求△PBD周长的最小值为 6.L为直线，当A、B在L异侧（且A、B到L距离不相等），求
4、MA-MB
5、
6、最大值。 分析：做B关于L对称点B’. ∣MA-MB∣=∣MB’-MA∣≤AB’（当且 仅当M运动到AB’和L交点时MO时等号成立） 7.如图,两点A,B在直线L的同侧,A到L距离为AC=8,B到L的距离为BD=5,CD=4,点P在直线L上运动.则∣PA-PB∣最大值为____.(第十届“希望杯”全国数学邀请赛初二) 分折:∣PA-PB∣≤AB,(当P运动到 AB延长线和L交点时PO等号成立),过 B作BE⊥AC于E,易得. 小结:上述几题中,只出现一个动点,当题中只出现一个动点时,可作定点关于动点所在直线的对称点,利用两点之间线段最短,或三角形两边之和小于第三边求出最值.
7、二、题中出现两个动点。 8．在直角坐标系中有四个点,A(-8,3),B(-4,5)C(0，n),D(m,0),当四边形ABCD周长最短时,求(2002年湖北选拔赛) 分折:因AB长为定值,四边形周长 最短时有BCCDDA最短,作B关于y 轴对称点B’,A关于x轴对称点A’, DADCBC=DA’DCB’C≥B’A’(当D,C运动到AB和x轴y轴的交点时等号成立),易求直线A’B’解折式y=,C0(0,),D0(-,0),此时=- 9．知和y轴交于点A(0,,3),和x轴交于B(1,0),C(5,0),求(1):此抛物线的解折式,(2)若一动点P自OA中点M出发,先到x轴上某点,设为
8、E,再到抛物线对称轴上某点F,最后运动到A,求使P点运动总路程最短的点E和点F坐标,并求最短路径长(2006年北京中考)。 分折：易求（1） （2）当P经过路线长最短时，P必走直线，即MEEFFA最短，作A关于x=3对称点A’(6,3)，M关于x轴的对称点M’(0.-3/2)于是有MEEFFA=MEEFFA≥A’M’（当且仅当EF运动到E0F0时等号成立），易求直线A’M’解折式为，E0(),F0()于是，由勾股定理求得： 10．如图：在△ABC中,∠A=,MN分别AB,AC上动点,求BNMNMC最小值(2003年余姚中学保送生测试) 分折:作B关于AC对称点B’,C关于 AB对称点
9、C’,有BNMNNC=B’NMNMC’≥B’C’(当M,N运动到M0,N0时等号成立),因∠A=,那么∠C’AB=∠A=∠B’AC,所以∠C’AB’=,AC’=AB’=AB=AC=20,所以△AC’B’为正三角形,所以B’C’=20. 小结：综上可知,当题中出现两个定点和两个动点时,应作两次定点关于动点所在直线的对称点.利用两点之间线段最短求出最值! 三、题中出现三个动点时。 11．如图，在
