探讨几何最值问题的解法

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1、www.czsx.com.cn探讨几何最值问题的解法知识点：教材中哪些结论与线段长度最短有关一、两点之间，线段最短。二、连结直线外一点和直线上所有点的线段中，垂线段最短。下面就知识点一进行学习探究.基本图形：两点一线型，一点两线型，两点两线型基本方法：对称或平移基本思想：化折为直(本质是转化思想)题型一：两点一线型教材原型：七年级下如图，要在街道旁修建一个奶站，向居民区A，B提供牛奶，奶站修在什么地方，才能使从A、B到它的距离之和最短？数学问题：（1）在直线l上找点P，使PA+PB值最小方法：作对称化同侧为异测依据：两点之间，线段最短思想：化折为

2、直    利用这一题例的结论，可以解决一些同根异形关联题，下面试举几例：       【关联题1】如图，直线l是一条河，P、Q两地相距8千米，P、Q两地到l的距离分别为2千米、5千米，欲在l上的某点M处修建一个水泵站，向P、Q两地供水，现有如下四种铺设方案，图中实线表示铺设的管道，则铺设的管道最短的是（）．PMMMMQllllPQPQPQPQABCD(第20题图)lPMMMMQllllPQPQPQPQABCD(第20题图)l-9-www.czsx.com.cn变式1：如图，直线l是一条河，P、Q两地相距8千米，P、Q两地到l的距离分别为2千米、5

3、千米，欲在l上的某点M处修建一个水泵站，并从点M直接向P、Q两地供水，现有如下四种铺设方案，图中实线表示铺设的管道，则铺设的管道最短的是（）．PMMMMQllllPQPQPQPQABCD(第20题图)l变式2：如图，直线l是一条河，P、Q两地相距10千米，P、Q两地到l的距离分别为2千米、5千米，欲在l上的某点M处修建一个水泵站，向P、Q两地供水，现有如下四种铺设方案，图中实线表示铺设的管道，则铺设的管道最短的是（）．PMMMMQllllPQPQPQPQABCD(第20题图)l       【关联题2】（2007年乐山市中考题）如图3，MN是⊙O

4、的直径，MN=2，点A在⊙O上，∠AMN=30°，B为弧AN的中点，P是直径MN上一动点，则PA+PB的最小值为（）                   析解：连结OA，由∠AMN=30°得∠AON=60°，取点B关于MN的对称点B＇，连结OB＇、AB＇，AB＇交MN于点P，则AB＇的长为PA+PB的最小值，且易知∠AOB＇=90°，即△AOB＇为等腰Rt△，故。              如图4，在等腰⊿ABC中，∠ABC=120°，点P是底边AC上一个动点，M、N-9-www.czsx.com.cn分别是AB、BC的中点，若PM+PN的最小值

5、为2，则⊿ABC的周长是（）               析解：把等腰⊿ABC沿AC翻折可得一菱形，由上面【关联题1】的解答可知，PM+PN的最小值就是菱形的边AB的长，故AB=2，由AB=BC=2，∠ABC=120°易求得，因此⊿ABC的周长是()。              如图5，在直角坐标系中，点A，B，C的坐标分别为（－1，0），（3，0），（0，3），过A，B，C三点的抛物线的对称轴为直线l，D为对称轴上l一动点，(1)求抛物线的解析式；       (2)求当AD+CD最小时点D的坐标；       (3)以点A为圆心，以AD为半径

6、作⊙A，①证明：当AD+CD最小时，直线BD与⊙A相切。       ②写出直线BD与⊙A相切时，D点的另一个坐标。       析解：（1）可设y=a(x+1)(x－3)，再代入点C坐标，即可求得y=－x2+2x+3。       （2）利用点A、B关于直线l：x=1对称，连结BC交l于D，则此时AD+CD取得最小值；设l与x轴交点为E，由⊿BED∽⊿BOC可求得DE=2，BD=2姨2=AD，所以D的坐标为(1，2)。       （3）①如图6,连结AD，由点A、B、D、E的坐标易知⊿ADE和⊿BDE均为等腰Rt△，故∠ADE=∠BDE=45

7、°所以∠ADB=90°，所以直线BD与⊙A相切。       ②由对称性知点D的另一个坐标是（1，－2）。      【关联题5】如图2，菱形ABCD的两条对角线分别长6和8，点P是对角线AC上的一个动点，点M、N分别是边AB、BC的中点，则PM+PN的最小值是_____________．-9-www.czsx.com.cn       析解：利用菱形的对称性，在AD上找出点M关于AC的对称点M＇（即AD的中点），连结M＇N交AC于P，则PM+PN的最小值为线段M＇N的长，而M＇、N分别为边AD、BC的中点，故M＇N的长等于菱形的边长5。【关联题

8、4】如图，∠MON=90°，矩形ABCD的顶点A、B分别在边OM，ON上，当B在边ON上运动时，A随之在边OM上运动，矩形ABCD的形状