几何最值问题解法探讨

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1、几何最值问题解法探讨在平面几何的动态问题中,当某几何元素在给定条件变动时,求某几何量(如线段的长度、图形的周长或面积、角的度数以及它们的和与差)的最大值或最小值问题,称为最值问题。解决平面几何最值问题的常用的方法有:(1)应用两点间线段最短的公理(含应用三角形的三边关系)求最值;(2)应用垂线段最短的性质求最值;(3)应用轴对称的性质求最值;(4)应用二次函数求最值;(5)应用其它知识求最值。下面通过近年全国各地中考的实例探讨其解法。一、应用两点间线段最短的公理(含应用三角形的三边关系)求最值:典型例题:例1.(2012山东济南3分)如图,∠MON=90°,矩

2、形ABCD的顶点A、B分别在边OM,ON上,当B在边ON上运动时,A随之在边OM上运动,矩形ABCD的形状保持不变,其中AB=2,BC=1,运动过程中,点D到点O的最大距离为【】A.   B.   C.5   D.【答案】A。【考点】矩形的性质,直角三角形斜边上的中线性质,三角形三边关系,勾股定理。【分析】如图,取AB的中点E,连接OE、DE、OD,∵OD≤OE+DE,∴当O、D、E三点共线时,点D到点O的距离最大,此时,∵AB=2,BC=1,∴OE=AE=AB=1。DE=,∴OD的最大值为:。故选A。例2.(2012湖北鄂州3分)在锐角三角形ABC中,BC=

3、,∠ABC=45°,BD平分∠ABC,M、N分别是BD、BC上的动点,则CM+MN的最小值是▲。【答案】4。【考点】最短路线问题,全等三角形的判定和性质,三角形三边关系,垂直线段的性质,锐角三角函数定义,特殊角的三角函数值。【分析】如图,在BA上截取BE=BN,连接EM。∵∠ABC的平分线交AC于点D,∴∠EBM=∠NBM。在△AME与△AMN中,∵BE=BN,∠EBM=∠NBM,BM=BM,∴△BME≌△BMN(SAS)。∴ME=MN。∴CM+MN=CM+ME≥CE。又∵CM+MN有最小值,∴当CE是点C到直线AB的距离时,CE取最小值。∵BC=,∠ABC=

4、45°,∴CE的最小值为sin450=4。∴CM+MN的最小值是4。例3.(2011四川凉山5分)如图,圆柱底面半径为,高为,点A、B分别是圆柱两底面圆周上的点,且A、B在同一母线上,用一棉线从A顺着圆柱侧面绕3圈到B,求棉线最短为▲。【答案】。【考点】圆柱的展开,勾股定理,平行四边形的性质。【分析】如图,圆柱展开后可见,棉线最短是三条斜线,第一条斜线与底面圆周长、高组成直角三角形。由周长公式,底面圆周长为,高为,根据勾股定理,得斜线长为,根据平行四边形的性质,棉线最短为。例4.(2012四川眉山3分)在△ABC中,AB=5,AC=3,AD是BC边上的中线,则

5、AD的取值范围是▲.【答案】1<AD<4。【考点】全等三角形的判定和性质,三角形三边关系。【分析】延长AD至E,使DE=AD,连接CE.根据SAS证明△ABD≌△ECD,得CE=AB,再根据三角形的三边关系即可求解:延长AD至E,使DE=AD,连接CE。∵BD=CD,∠ADB=∠EDC,AD=DE,∴△ABD≌△ECD(SAS)。∴CE=AB。在△ACE中,CE-AC<AE<CE+AC,即2<2AD<8。∴1<AD<4。练习题:1.(2011湖北荆门3分)如图,长方体的底面边长分别为2和4,高为5.若一只蚂蚁从P点开始经过4个侧面爬行一圈到达Q点,则蚂蚁爬行的

6、最短路径长为【】A.13cmB.12cmC.10cmD.8cm2.(2011四川广安3分)如图,圆柱的底面周长为6cm,AC是底面圆的直径,高BC=6cm,点P是母线BC上一点,且PC=BC.一只蚂蚁从A点出发沿着圆柱体的表面爬行到点P的最短距离是【】A、㎝B、5cmC、㎝D、7cm3.(2011广西贵港2分)如图所示,在边长为2的正三角形ABC中,E、F、G分别为AB、AC、BC的中点,点P为线段EF上一个动点,连接BP、GP,则△BPG的周长的最小值是_▲.二、应用垂线段最短的性质求最值:典型例题:例1.(2012山东莱芜4分)在△ABC中,AB=AC=5

7、,BC=6.若点P在边AC上移动,则BP的最小值是▲.【答案】。【考点】动点问题,垂直线段的性质,勾股定理。【分析】如图,根据垂直线段最短的性质,当BP′⊥AC时,BP取得最小值。设AP′=x,则由AB=AC=5得CP′=5-x,又∵BC=6,∴在Rt△ABP′和Rt△CBP′中应用勾股定理,得。∴,即,解得。∴,即BP的最小值是。例2.(2012浙江台州4分)如图,菱形ABCD中,AB=2,∠A=120°,点P,Q,K分别为线段BC,CD,BD上的任意一点,则PK+QK的最小值为【】 A.1B.C.2D.+1【答案】B。【考点】菱形的性质,线段中垂线的性质,

8、三角形三边关系,垂直线段的性质,矩形的

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