几何最值问题解法探讨

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1、几何最值问题解法探讨在平面几何的动态问题中，当某几何元素在给定条件变动时，求某几何量（如线段的长度、图形的周长或面积、角的度数以及它们的和与差）的最大值或最小值问题，称为最值问题。解决平面几何最值问题的常用的方法有：（1）应用两点间线段最短的公理（含应用三角形的三边关系）求最值；（2）应用垂线段最短的性质求最值；（3）应用轴对称的性质求最值；（4）应用二次函数求最值；（5）应用其它知识求最值。下面通过近年全国各地中考的实例探讨其解法。一、应用两点间线段最短的公理（含应用三角形的三边关系）求最值：典型例题：例1.（2012山东济南3分）如图，∠MON=90°，矩

2、形ABCD的顶点A、B分别在边OM，ON上，当B在边ON上运动时，A随之在边OM上运动，矩形ABCD的形状保持不变，其中AB=2，BC=1，运动过程中，点D到点O的最大距离为【】A．　　　B．　　　C．5　　　D．【答案】A。【考点】矩形的性质，直角三角形斜边上的中线性质，三角形三边关系，勾股定理。【分析】如图，取AB的中点E，连接OE、DE、OD，∵OD≤OE+DE，∴当O、D、E三点共线时，点D到点O的距离最大，此时，∵AB=2，BC=1，∴OE=AE=AB=1。DE=，∴OD的最大值为：。故选A。例2.（2012湖北鄂州3分）在锐角三角形ABC中，BC=

3、，∠ABC=45°，BD平分∠ABC，M、N分别是BD、BC上的动点，则CM+MN的最小值是▲。【答案】4。【考点】最短路线问题，全等三角形的判定和性质，三角形三边关系，垂直线段的性质，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值。【分析】如图，在BA上截取BE=BN，连接EM。∵∠ABC的平分线交AC于点D，∴∠EBM=∠NBM。在△AME与△AMN中，∵BE=BN，∠EBM=∠NBM，BM=BM，∴△BME≌△BMN（SAS）。∴ME=MN。∴CM+MN=CM+ME≥CE。又∵CM+MN有最小值，∴当CE是点C到直线AB的距离时，CE取最小值。∵BC=，∠ABC=

4、45°，∴CE的最小值为sin450=4。∴CM+MN的最小值是4。例3.（2011四川凉山5分）如图，圆柱底面半径为，高为，点A、B分别是圆柱两底面圆周上的点，且A、B在同一母线上，用一棉线从A顺着圆柱侧面绕3圈到B，求棉线最短为▲。【答案】。【考点】圆柱的展开，勾股定理，平行四边形的性质。【分析】如图，圆柱展开后可见，棉线最短是三条斜线，第一条斜线与底面圆周长、高组成直角三角形。由周长公式，底面圆周长为，高为，根据勾股定理，得斜线长为，根据平行四边形的性质，棉线最短为。例4.（2012四川眉山3分）在△ABC中，AB＝5，AC＝3，AD是BC边上的中线，则

5、AD的取值范围是▲．【答案】1＜AD＜4。【考点】全等三角形的判定和性质，三角形三边关系。【分析】延长AD至E，使DE=AD，连接CE．根据SAS证明△ABD≌△ECD，得CE=AB，再根据三角形的三边关系即可求解：延长AD至E，使DE=AD，连接CE。∵BD=CD，∠ADB=∠EDC，AD=DE，∴△ABD≌△ECD（SAS）。∴CE=AB。在△ACE中，CE－AC＜AE＜CE＋AC，即2＜2AD＜8。∴1＜AD＜4。练习题：1.（2011湖北荆门3分）如图，长方体的底面边长分别为2和4，高为5.若一只蚂蚁从P点开始经过4个侧面爬行一圈到达Q点，则蚂蚁爬行的

6、最短路径长为【】A.13cmB.12cmC.10cmD.8cm2.（2011四川广安3分）如图，圆柱的底面周长为6cm，AC是底面圆的直径，高BC=6cm，点P是母线BC上一点，且PC=BC．一只蚂蚁从A点出发沿着圆柱体的表面爬行到点P的最短距离是【】A、㎝B、5cmC、㎝D、7cm3.（2011广西贵港2分）如图所示，在边长为2的正三角形ABC中，E、F、G分别为AB、AC、BC的中点，点P为线段EF上一个动点，连接BP、GP，则△BPG的周长的最小值是_▲．二、应用垂线段最短的性质求最值：典型例题：例1.（2012山东莱芜4分）在△ABC中，AB＝AC＝5

7、，BC＝6．若点P在边AC上移动，则BP的最小值是▲．【答案】。【考点】动点问题，垂直线段的性质，勾股定理。【分析】如图，根据垂直线段最短的性质，当BP′⊥AC时，BP取得最小值。设AP′=x，则由AB＝AC＝5得CP′=5－x，又∵BC＝6，∴在Rt△ABP′和Rt△CBP′中应用勾股定理，得。∴，即，解得。∴，即BP的最小值是。例2.（2012浙江台州4分）如图，菱形ABCD中，AB=2，∠A=120°，点P，Q，K分别为线段BC，CD，BD上的任意一点，则PK+QK的最小值为【】　A．1B．C．2D．＋1【答案】B。【考点】菱形的性质，线段中垂线的性质，

8、三角形三边关系，垂直线段的性质，矩形的