几何最值问题解法探讨.doc

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1、几何最值问题解法探讨在平面几何的动态问题中，当某几何元素在给定条件变动时，求某几何量（如线段的长度、图形的周长或面积、角的度数以及它们的和与差）的最大值或最小值问题，称为最值问题。解决平面几何最值问题的常用的方法有：（1）应用两点间线段最短的公理（含应用三角形的三边关系）求最值；（2）应用垂线段最短的性质求最值；（3）应用轴对称的性质求最值；（4）应用二次函数求最值；（5）应用其它知识求最值。下面通过实例探讨其解法。例1.在△ABC中，AB＝5，AC＝3，AD是BC边上的中线，则AD的取值范围是．【答案】1＜AD＜4。【考点】全等三角形的判定和性质，三角形三边关系。例2.如图，E，F是正方形

2、ABCD的边AD上两个动点，满足AE＝DF．连接CF交BD于G，连接BE交AG于点H．若正方形的边长为2，则线段DH长度的最小值是．答案：解析：例3.如图，△ABC中，∠BAC=60°，∠ABC=45°，AB=2，D是线段BC上的一个动点，以AD为直径画⊙O分别交AB，AC于E，F，连接EF，则线段EF长度的最小值为．【答案】。【考点】垂线段的性质，垂径定理，圆周角定理，解直角三角形，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值。例4.如图所示，在菱形ABCD中，AB=4，∠BAD=120°，△AEF为正三角形，点E、F分别在菱形的边BC．CD上滑动，且E、F不与B．C．D重合．当点E、F在BC．C

3、D上滑动时，分别探讨△CEF的面积是否发生变化？如果不变，求出这个定值；如果变化，求出最大（或最小）值．△CEF的面积的最大值是。【考点】菱形的性质，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，垂直线段的性质。例5.在矩形ABCD中，AB=2，AD=3,P是BC上的任意一点（P与B、C不重合），过点P作AP⊥PE，垂足为P，PE交CD于点E.连接AE，若设BP为x，CE为y，试确定y与x的函数关系式。当x取何值时，y的值最大？最大值是多少？【考点】矩形的性质，全等三角形的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，二次函数的最值，平行的性质，解一元二次方程。例6.如图，在△ABC中

4、，已知AB=AC=5，BC=6，且△ABC≌△DEF，将△DEF与△ABC重合在一起，△ABC不动，△ABC不动，△DEF运动，并满足：点E在边BC上沿B到C的方向运动，且DE、始终经过点A，EF与AC交于M点．当线段AM最短时，求重叠部分的面积．例7.在Rt△POQ中，OP=OQ=4,M是PQ中点，把一三角尺的直角顶点放在点M处，以M为旋转中心，旋转三角尺，三角尺的两直角边与△POQ的两直角边分别交于点A、B，连接AB，探究：在旋转三角尺的过程中，△AOB的周长是否存在最小值，若存在，求出最小值，若不存在。请说明理由。【考点】直角三角形斜边上的中线性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，二

5、次函数的最值。【分析】（1）连接OM，证△PMA和△OMB全等即可。(2)先计算出∴OP=OA+OB=OA+PA=4，再令OA=x，AB=y，则在Rt⊿AOB中，利用勾股定理得y2=x2+(4-x)2=2x2-8x+16=2(x-2)2+8求出最值即可。例8.如图，在△ABC中，AB=AC，∠B=30°，BC=8，D在边BC上，E在线段DC上，DE=4，△DEF是等边三角形，边DF交边AB于点M，边EF交边AC于点N．设BD=x，五边形ANEDM的面积为y，求y与x之间的函数解析式（要求写出自变量x的取值范围）；当x为何值时，y有最大值？并求y的最大值．【考点】等腰（边）三角形的性质，相似三

6、角形的判定和性质，二次函数的最值，切线的性质，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值。【分析】首先求得△ABC的面积，继而求得△BDM的面积，然后由相似三角形的性质，可求得△BCN的面积，再利用二次函数的最值问题，即可求得答案。