第六章-中心力场-12.ppt

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1、Review微观全同粒子具有不可分辨性，任何两个粒子交换，量子态不变,第1页全同粒子波函数，要么对称（Bose子），要么反对称（Fermi子）。P表示对不同单粒子态的粒子进行对换的置换。第2页交换任意两个粒子，等价于行列式中相应两列对调，由行列式性质可知，行列式要变号，故是反对称化波函数。Pauli不相容原理不能有两个全同的Fermi子处在相同的状态。第六章中心力场教学内容第3页§1中心力场中粒子运动的一般性质§2无限深球方势阱§3三维各向同性谐振子§4氢原子§1中心力场中粒子运动的一般性质一、角动量守恒

2、与径向方程何谓中心力场粒子的受力经过某个固定的中心（力心），其势能只是粒子到力心的距离r的函数，即V(r)，为球对称势。（例如Coulomb场）第4页设质量为的粒子在中心力场中运动，则哈密顿量算符表示为：经典理论中，中心力场中运动粒子角动量守恒，粒子运动为平面运动。对于势能只与r有关而与θ,无关的有心力场，使用球坐标求解较为方便。第5页[l,H]=0,[l2,H]=0l及l2均为守恒量径向动能离心势能取体系(自由度3)的力学量完全集为第6页求解中心力场中粒子的能量本征方程径向方程可写为：求解方程时，可

3、作以下替换，使得计算更方便，令：第7页不同中心力场V(r)，不同Rl(r)（χl(r)）；方程中没有出现磁量子数m，能量本征值E与m无关。与l有关，给定l，m有2l+1个取值，中心力场的简并度一般为2l+1.选取对易守恒量完全集(H,l2,lZ)之后，同一能级的各简并态就可标记清楚。一定边界条件下求解径向方程，可求得能量本征值E及本征函数。非束缚态，E连续变化。束缚态，E取离散值。由于束缚态下边界条件，出现径向量子数nr,nr=0,1,2,…，（代表波函数节点数），E依赖于nr和l，记为Enrl，l一定，

4、E随nr增大而增大。nr一定，E随l（离心势能）增大而增大。光谱学习惯，把（l=0,1,2,3,4,5,6）的态记为s,p,d,f,g,h,i.第8页径向波函数在r→0邻域内的渐进行为假定V(r)满足第9页变为设当r→0，在任何体积元找到粒子的概率应为有限值。当r→0，若Rl(r)∝1/ra，要求a<3/2.当l>=1时，Rl(r)∝r-(l+1)不满足要求。l=0时，ψ∝R0(r)Y00∝1/r，但此解并不满足能量本征方程第10页r→0时，只有Rl(r)∝rl是物理上可以接受的。等价地，要求径向方程的一

5、个定解条件。两体问题化为单体问题实际碰到的中心力场问题，通常是两体问题。两个质量分别为m1和m2的粒子，相互作用V(

6、r1-r2

7、)=V(r)只依赖于相对距离。这个二粒子体系的能量本征方程,第11页ET为体系的总能量。引入质心坐标R和相对坐标r1x+r1r2rR2OyzI一个具有约化质量的粒子在场中的运动II二粒子作为一个整体的质心运动。可以证明：第12页证明：第13页以上结果带入到两粒子能量本征方程，分离变量第14页描述质心运动（自由粒子能量本征方程）平面波解描述相对运动，E是相对运动能量（单粒子能

8、量本征方程）两体问题单体问题Review中心力场中粒子运动一般性质1.中心力场V(r)球对称势2.经典力学中，角动量守恒，平面运动3.量子力学中，[l,H]=0,[l2,H]=0第15页第16页当r→0，r→0时，只有Rl(r)∝rl是物理上可以接受的。等价地，要求两体问题化为单体问题§2无限深球方势阱考虑质量为μ的粒子在半径为a的球形匣子中运动。这相当于粒子在一个无限深球方势阱中运动，(束缚态)第17页考虑s态（l=0）。径向方程势阱内部，方程的解可以表示为sin(kr)的形式，再根据r=a处的边界条件

9、，sin(ka)=0,有第18页粒子能量本征值为归一化，l≠0时，径向方程为第19页引入无量纲变量ρ=kr,球Bessel方程，解可取为球Bessel函数jl(ρ)与球Neumann函数nl(ρ),ρ→0时，球方势阱的解取为当a取有限值时，k只能取一系列离散值，令jl(ξ)=0的根为第20页粒子的能量本征值为相对应的径向本征函数为Lnr01230π2π3π4π14.4937.72510.90414.06625.7679.09512.32315.51536.98810.41713.69816.924第21页

10、10A5.合流超几何函数合流超几何微分方程为第22页α，γ为参数。在z~0邻域，令y=zs,可得s=0时的级数解，第23页要求方程左边各次项为0，由此可得c0=1,得出级数解，合流超几何函数第24页k→∞,ck/ck-1~1/k，这与ez的幂级数展开系数比值一致，s=1-γ时级数解为§3三维各向同性谐振子质量为μ的粒子在三维各向同性谐振子势V(r)中运动，第25页ω是刻画势阱强度的参量。径向方程为，r=0的邻域，物理上可以接受