资源描述：
《量子力学第六章-中心力场-郭华忠课件.ppt》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、第六章电子在库仑场中的运动（一）有心力场下的SchrÖdinger方程（二）求解SchrÖdinger方程（三）使用标准条件定解（四）归一化系数（五）总结体系Hamilton量H的本征方程对于势能只与r有关而与θ,无关的有心力场，使用球坐标求解较为方便。于是方程可改写为：V=-Ze2/r考虑一电子在一带正电的核所产生的电场中运动，电子质量为μ，电荷为-e，核电荷为+Ze。取核在坐标原点，电子受核电的吸引势能为：xz球坐标ry此式使用了角动量平方算符L2的表达式：（一）有心力场下的Schrodinger方程（二）求解Schrodinger方程（1）分离变量化简方程ψ(r,θ
2、,)=R(r)Ylm(θ,)令注意到L2Ylm=(+1)2Ylm则方程化为：令R(r)=u(r)/r代入上式得：若令讨论E<0情况，方程可改写如下：于是化成了一维问题，势V(r)称为等效势，它由离心势和库仑势两部分组成。令（2）求解(I)解的渐近行为ρ→∞时，方程变为所以可取解为有限性条件要求A'=02(II)求级数解令为了保证有限性条件要求：当r→0时R=u/r→有限成立即代入方程令ν'=ν-1第一个求和改为:把第一个求和号中ν=0项单独写出，则上式改为：再将标号ν'改用ν后与第二项合并，代回上式得：[s(s-1)-(+1)]b0=0→s(s-1)-(
3、+1)=0S=-不满足s≥1条件，舍去。s=+1高阶项系数：[(ν+s+1)(ν+s)-(+1)]bν+1+(β-ν-s)bν=0系数bν的递推公式注意到s=+1上式之和恒等于零，所以ρ得各次幂得系数分别等于零，即（三）使用标准条件定解（3）有限性条件（1）单值；（2）连续。二条件满足1.ρ→0时，R(r)有限已由s=+1条件所保证。2.ρ→∞时，f(ρ)的收敛性如何？需要进一步讨论。所以讨论波函数的收敛性可以用eρ代替f(ρ)后项与前项系数之比级数eρ与f(ρ)收敛性相同可见若f(ρ)是无穷级数，则波函数R不满足有限性条件，所以必须把级数从某项起截断。与谐振子问题
4、类似，为讨论f(ρ)的收敛性现考察级数后项系数与前项系数之比：最高幂次项的νmax=nr令注意此时多项式最高项的幂次为nr++1则于是递推公式改写为量子数取值由定义式由此可见，在粒子能量小于零情况下（束缚态）仅当粒子能量取En给出的分立值时，波函数才满足有限性条件的要求。En<0将β=n代入递推公式：利用递推公式可把b1,b2,...,bn--1用b0表示出来。将这些系数代入f()表达式得：其封闭形式如下：缔合拉盖尔多项式总波函数为：至此只剩b0需要归一化条件确定则径向波函数公式：径向波函数第一Borh轨道半径使用球函数的归一化条件：利用拉盖尔多项式的封闭形式采用与求
5、谐振子波函数归一化系数类似的方法就可求出归一化系数表达式如下：从而系数b0也就确定了（四）归一化系数下面列出了前几个径向波函数Rnl表达式：（1）本征值和本征函数（2）能级简并性能量只与主量子数n有关，而本征函数与n,,m有关，故能级存在简并。当n确定后，=n-nr-1，所以最大值为n-1。当确定后，m=0,±1,±2,....,±。共2+1个值。所以对于En能级其简并度为：即对能量本征值En由n2个本征函数与之对应，也就是说有n2个量子态的能量是En。n=1对应于能量最小态，称为基态能量，E1=μZ2e4/22，相应基态波函数是ψ100=R10Y00，所以基态是
6、非简并态。当E<0时，能量是分立谱，束缚态，束缚于阱内，在无穷远处，粒子不出现，有限运动,波函数可归一化为一。n=nr++l=0,1,2,...nr=0,1,2,...（五）总结例：原子外层电子（价电子）所受原子实（原子核及内层电子）的平均作用势可以近似表示为：求价电子能级。设价电子波函数为：解：径向方程为：在求解方程之前，我们先分析一下该问题与氢原子的异同点，从而找出求解的简捷方法。令：本征能量(+1)-2λ=’(’+1)=(-Δ)(-Δ+1)=(+1)-(2+1)Δ+Δ2由于λ<<1，二级小量可略。令：Δ=-’’=-Δ则n’=’
7、+nr+1=-Δ+nr+1=n-Δ（一）二体问题的处理（二）氢原子能级和波函数（三）类氢离子（四）原子中的电流和磁矩§4氢原子量子力学发展史上最突出得成就之一是对氢原子光谱和化学元素周期律给予了相当满意的解释。氢原子是最简单的原子，其Schrodinger方程可以严格求解，氢原子理论还是了解复杂原子及分子结构的基础。1x+r1r2rR2Oyz（1）基本考虑I一个具有折合质量的粒子在场中的运动II二粒子作为一个整体的质心运动。（2）数学处理一个电子和一个质子组成的氢原子的Schrod
