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《量子力学 中心力场 氢原子.ppt》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在PPT专区-天天文库。
1、性质:中心力场的一般概念质量为m的粒子在中心力场中运动，能量算符为:§3.3电子在库仑场中的运动考虑电子在一带正电的核所产生的电场中运动，电子质量为μ，电荷为-e，核电荷为+Ze。取核在坐标原点，电子受核电的吸引势能为：V=-Zes2/r体系Hamilton量H的本征方程（一）有心力场下的Schrödinger方程将拉普拉斯算符写为球坐标的形式(参见梁昆淼《数学物理方法》§40)于是方程可改写为：波函数表示为将波函数代入得即分析将Y(,)表示为两个函数的乘积设常数m2，则上式分成两个方程球谐函
2、数上式的解是()是单值的，满足()=(+2)，即m只能取整数0,1,2,…可见ml，即m=0,1,2,…,l将()和()合并，并正交归一化，得球谐函数(参见梁昆淼《数学物理方法》§44)将角动量平方算符代入得其本征值为：L2=l(l+1)ħ2角动量的本征值为L称为轨道量子数或角量子数，表示电子相对于原子核的角动量的大小。核外电子相对于核的角动量，称为轨道角动量。二.角动量的本征函数和相应的量子数球谐函数Ylm(,)既是算符的本征函数，也是算符的本征函数，故
3、有算符的本征值为m=0,1,2,…,lm称为磁量子数，表示电子轨道角动量的z分量的大小。轨道角动量在空间不能任意取向，而只能取某些特定方向的性质，称为角动量的空间量子化。三、径向波函数和原子的能级径向波函数R(r)所满足的方程令于是考虑束缚态,因E<0，将上式代入式，得抓两头:看方程在两边边界上的渐进行为带中间:使函数在中间有与渐近行为相同的形式求解方法1.“抓两头,带中间”令2.求级数解,找递推关系3.看解在无穷远处的渐近行为,”斩断魔爪”,无限求和截断为有限的多项式,从而得到能谱及解与谐
4、振子问题类似，为讨论F的收敛性现考察级数后项系数与前项系数之比：后项与前项系数之比为了满足波函数有限性要求，幂级数u(r)必须从某一项截断变成一个多项式。换言之，要求u(r)从某一项（比如第n项）起以后各项的系数均为零，即Cn≠0,Cn+1=0.由上式可得氢原子(Z=1)的能量本征值为这就是氢原子的能级公式，与玻尔氢原子理论中的能级公式完全一致。从能级公式可以看到，E=0，这就是电离。当n=1，即氢原子处于基态时，能量为由上式解得的径向波函数为归一化系数为式中n=1,2,3,,l=0,1,
5、2,,(n-1)下面列出了前几个径向波函数Rnl表达式：§3.4氢原子量子力学发展史上最突出得成就之一是对氢原子光谱和化学元素周期律给予了相当满意得解释。氢原子是最简单的原子，用Schrödinger方程可以严格求解，氢原子理论还是了解复杂原子及分子结构的基础。（一）二体问题的处理（1）基本考虑I一个具有折合质量的粒子在场中的运动II二粒子作为一个整体的质心运动。二体运动可化为：（2）数学处理一个电子和一个质子组成的氢原子Schrödinger方程是：将二体问题化为单体问题电子和质子都运动
6、1x+r1r2rR2Oyz令分量式1x+r1r2rR2Oyz系统Hamilton量则改写为：其中=12/(1+2)是折合质量。相对坐标和质心坐标下Schrödinger方程形式为：由于没有交叉项，波函数可分离变量为：只与R有关只与r有关我们感兴趣的是描述氢原子的内部状态的第一个方程，它描述一个质量为的粒子在势能为V(r)的力场中的运动。这是一个电子相对于核运动的波函数(r)所满足的方程，相对运动能量E就是电子的能级。第二式是质心运动方程，描述能量为(ET-E)的自由粒子的定态S
7、chrödinger方程，说明质心以能量(ET-E)作自由运动。密度泛函理论（DFT－Densityfunctionaltheory）是一种处理非均匀相互作用多粒子体系的近似方法，它把多体问题转变为具有单电子交换-关联势的单电子问题。最终目标是近似求解不含时非相对论的薛定谔方程:系统由M个原子核和N个电子构成,是哈密顿算符,代表系统总能量.（1）能级（二）氢原子能级和波函数（2）波函数和电子在氢原子中的几率分布考虑球谐函数的归一化几率密度随半径变化例如：对于基态求最可几半径极值几率密度随角度变化对
8、r(0∞)积分Rnl(r)已归一化该几率与角无关下图示出了各种,m态下，Wm()关于的函数关系，由于它与角无关，所以图形都是绕z轴旋转对称的立体图形。例1.=0,m=0，有：W00=(1/4)，与也无关，是一个球对称分布。xyz例2.=1,m=±1时，W1,±1(θ)=(3/8π)sin2。在=π/2时，有最大值。在=0沿极轴方向（z向）W1,±1=0。例3.=1,m=0时，W1,0()={3/4π}cos2。正好与例2相反，在=0时，最大；在
