中心力场去第3节及磁矩

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1、第5章中心力场班级：11级光电子2013年5月6日§5.1中心力场中粒子运动的一般性质§5.2无限深球方势阱§5.3三维各向同性谐振子§5.4氢原子第五章中心力场§5.1中心力场中粒子运动的一般性质（1）引力场中的运动（2）库仑场中的运动(经典理解)如Kepler运动：地球同步卫星如原子体系：电子的运动经典力学中，在中心力场V（r）中运动的粒子，角动量为守恒量。下面我们看量子力学中的角动量问题。即角动量是守恒量。因而也是守恒量。5.1.1角动量守恒与径向方程设质量为的粒子在中心力场中运动，则哈密顿量算符表示为：(

2、1)考虑到中心力场的特点：球对称性，选用球坐标系是方便的，利用xz球坐标ry(3)故满足的能量本征方程为：左边第一项称为径向动能算符，第二项称为离心势能。(4)因为所以构成守恒量的完全集合。上述Hamitonian量本征方程的解也是和的共同本征态。设该本征态为(5)代入（4）上述能量本征值方程，得径向方程，令：可得：(7)(8)(6)不同的中心力场中粒子的能量本征函数的差别仅在于径向波函数，他们由中心势V(r)的性质决定.中心力场能级一般m度简并，m有2l+1个可能取值，所以简并度一般为（2l+1）。径向量子数

3、nrnr＝0，1，2，…l＝0，1，2，3，4…s，p，d，f，g，h5.1.2径向波函数在r→0邻域的渐进行为假定V(r)满足此条件下，当r→0时，方程（5）渐近地表示成在正则奇点r=0邻域，设,代入（9）式得解得即当r→0时，(10)(11)按照波函数的统计解释，在任何体积元中找到粒子的概率都应为有限值当r→0时，若，则要求因此，当l≥1时，解必须抛弃.r→0处只有的解才是物理上可以接受的.（12）等价地，要求径向方程(7)的解满足5.1.3两体问题化为单体问题实际问题中出现的中心力场问题，常为二体问题.设二粒

4、子的质量分别为m1和m2，相互作用势为二粒子体系的能量本征方程为引入质心坐标R及相对坐标r其中M=m1+m2（总质量）（约化质量）(17)(19)可证明1x+r1r2rR2Oyz(18)m1x+r1r2rRm2Oyz将二体问题化为一体问题令分量式这样，方程（16）化为(20)（22）代入（20）式，分离变量后，得令（21）----描述质心运动----描述相对运动（22）§5.2无限深球方势阱考虑质量为的粒子在半径为a的球形匣子中运动.边条件为：先考虑s态（l＝0），径向方程为：a在阱内，有：粒子的能量本征值相应

5、的归一化波函数为其次考虑，径向方程为：不作要求，有兴趣自己看！考虑质量为m的粒子在三维各向同性线性谐振子势V(r)中运动（1）w是刻画势阱强度的参量，径向方程为采用自然单位，令,方程（2）化为5.3三维各向同性谐振子5.4氢原子一、氢原子径向波函数满足的方程二、径向方程的求解（求解能级和波函数）三、讨论：（1）级简并度（2）径向位置概率分布（3）概率密度随角度的变化（4）类氢原子选择无穷远处为零势点，其库仑吸引势可表为（1）一、氢原子径向波函数及其满足的方程径向波函数满足方程（2）令边界条件为（3）r=0，是微分

6、方程的奇点.（1）径向方程的解在r0的渐近行为是因此，当r0时，只能取在自然单位下，即令则方程（2）化为(4)二、径向方程的求解(5)（2）当r时，束缚态下（E<0）方程（4）化为令方程（4）的解表示成代入（4）得(5)(8)其解但eβr不满足束缚态条件，当r时，只能取(7)(6)令则得这正是合流超几何方程，见附录A5令（正整数）(9)再令(10)(11)(12)在ξ～0邻域，有界的解为合流超几何函数其中可看出时对于束缚态，必须要求F(a,g,ξ)中断为一个多项式，这要求a为0或负整数，即令则，利用式（

7、6）得添上能量的自然单位，即得出氢原子的能量本征值此即著名的Bohr氢原子能级公式，n为主量子数.径向波函数为其中归一化的径向波函数为氢原子的束缚态能量本征函数为最低的几条能级的径向波函数是氢原子的能级分布如下页图处于基态的电子的能量为-13.6eV，即氢原子的离化能为-13.6eV，随着n的增加，能级越来越密，在E～0领域，有无限多条离散能级密集。当E≥0后，则过渡到连续区（游离态）。讨论：1、能级简并度对于给定能级En,由（16）式，l=n-nr-1对于给定量子数l，磁量子数可以取（2l+1）个可能值因此，属于

8、En能级的量子态ynlm的数目为能级简并度比一般中心力场中能级的简并度高.一般中心力场中，粒子能级依赖于两个量子数nr和l，在Coulomb场中，能量只依赖于一个量子数nn＝nr+l+12、径向位置概率分布按照波函数的统计诠释，在态ynlm(r,q,j)下，在(r,r+dr)球壳中（不管方向如何）找到电子的概率为较低的几条能级上的电子的径向位置概率分布曲线如