浙江大学数学系.ppt

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1、分离变量法____第一次注:本幻灯片根据贾厚玉老师的版本修改而成.------阮火军0.预备知识下面的定理叙述了Fourier级数展开的一个结论．定理0.1设函数f是以2L为周期的函数，在[-L,L]上满足Dirichlet条件，即在[-L,L]上只有有限多个第一类间断点和有限多个极值点．则在[-L,L]上，f可以展成Fourier级数：上式的含义：在f的连续点处取等号，在f的间断点处取其左右极限的平均值，其中3浙江大学数学系如果f是奇函数，则其中,注1.在定理0.1的条件下，如果f是偶函数，则其中,4浙江大学数学

2、系对应用定理0.1，可知在[0,L]上，注2.如果f在[0,L]上满足Dirichlet条件．将f展开成Fourier级数的方法．其中,方法1.将f延拓成整个实轴上2L周期的“奇函数”5浙江大学数学系其中,方法2.将f延拓成整个实轴上2L周期的偶函数对应用定理0.1，可知在[0,L]上，6浙江大学数学系正交函数系，标准正交系，带权函数的正交函数系定义.一列函数　　构成的函数系称为在[a,b]上正交,如果正交系称为标准正交的，如果函数系在[a,b]上称为带权函数r(x)正交的，如果7浙江大学数学系例．是[0,L]上的正交

3、函数系；是[-L,L]上的正交函数系，但不是[0,L]上的正交函数系．是[0,L]上的正交函数系；是的正交函数系．上带权函数8浙江大学数学系对应的特征方程：两个根：.常系数二阶线性常微分方程的通解(3)(1)为相异实数，通解为:(2)为相同实数，通解为：为两个虚数，通解为：9浙江大学数学系1.有界弦的自由振动(1.1)(1.2)(1.3)(1.4)首先设法找到所有具有变量分离形式的满足方程（1.1）和边界条件（1.2）的非零特解。所谓函数u(x,t)具有变量分离形式，是指它可表示为(1.5)(I)10浙江大学数学系将（

4、1.5）代入方程（1.1）得到即(1.6)(1.6)式中，左端是t的函数，右端是x的函数，由此可得只能是常数，记为。从而有将（1.5）代入方程（1.2）得到由于在[0,L]不恒等于0，所以(1.7)(1.9)(1.8)(1.10)11浙江大学数学系特征值问题这是一个二阶线性常微分方程的两点边值问题．问：是否存在参数　的一些值，使得该两点问题有非零解？(1.7)(1.10)I.1一定是它的解（平凡解)．这样的一类问题称为特征值问题．特征值：使得上述问题有非零解的参数　．特征函数：与特征值　相应的非零解．12浙江大学数学系

5、具体求解情形（A）情形（B）(1.7)的通解为由(1.10)，可推出只有零解。(1.7)的通解为由(1.10)，可推出只有零解。(1.7)(1.10)13浙江大学数学系情形（C）方程的通解为由边界条件X(0)=0推出再由知道为了使必须于是有这样就找到了一族非零解特征值特征函数(1.11)(1.12)14浙江大学数学系由此，就得到方程（1.1）满足边界条件（1.2）的变量分离的非零特解代入　　　　　　得(1.13)其通解为I.2把15浙江大学数学系(II)特解的叠加一般来讲，前面求出的特解不满足初始条件。我们需要对它们做

6、适当的线性组合，以得出(1.1)-(1.4)的解．也就是说，要决定常数　　，使(1.14)(1.15)(1.16)满足(1.1)-(1.4)．假设(1.14)中的函数级数可以对x和t逐项求导两次，则u(x,t)必满足(1.1)-(1.2)，并且条件(1.3)和(1.4)可改写为16浙江大学数学系因此，当为正弦展开的Fourier(1.17)(1.18)这样，在前面的假设下，我们给出了混合问题(1.1)-(1.4)的解(1.14)，其中系数由公式(1.17)和(1.18)给出。在[0,L]区间上满足Dirichlet条件

7、时，可取上述解PDE的方法称为分离变量法。级数的系数，即17浙江大学数学系下面的条件(1.19)和(1.20)保证可以对(1.14)式的右边逐项求导两次，并且满足前面求时的要求，从而(1.14)确实是问题(1.1)-(1.4)的解．(1.19)(1.20)通常称条件(1.20)为相容性条件．当条件(1.19)和(1.20)不满足时，我们称得到的解为形式解．除非特别指明，本书中所谓的求解都是指求形式解．18浙江大学数学系分离变量法的解题步骤(求形式解)第一步第二步第三步令适合方程和边界条件，从而定出所适合的常微分方程齐次

8、边值问题，以及适合的常微分方程。特征值问题求解该常微分方程齐次边值问题，求出全部特征值和特征函数，并求出相应的的表达式。将所有变量分离形式的特解叠加起来，并利用初始条件定出所有待定系数。19浙江大学数学系例令是齐次方程和齐次边界条件的非零解则有20浙江大学数学系故有其中21浙江大学数学系22浙江大学数学系情形（A）时．方程的通解为