浙江大学数学系

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1、分离变量法____第二次注:本幻灯片根据贾厚玉老师的版本修改而成.------阮火军3.有界细杆的热传导方程设代入方程和边界条件得到解.3浙江大学数学系以及(3.4)(3.5)(3.6)解特征值问题(3.5)-(3.6):(1)时,通解为由边值条件4浙江大学数学系只有零解。(2)时,通解为由(3.6)，可推出只有零解。(3)时,通解为记则由边界条件X(0)=0推出5浙江大学数学系再由知道为了使必须记于是,特征值为:则有该方程的根是曲线与直线交点的横坐标.记其正根从大到小依次为特征函数为:6浙江大学数学系由此，就得到变量分离形式的特解代入　　　　　　得其通解为

2、把7浙江大学数学系特解叠加,有由初值条件,有利用特征函数的正交性,有(注:该内容超出课程要求,可见书上内容P38的2.2.3的性质(4).)(3.7)(3.8)由(3,7)以及(3.8)给出的u(x,t)就是定解问题(3.1)-(3.3)的形式解.8浙江大学数学系4.Laplace方程的定解问题以前的定解问题所在的区域都是区间或矩形域，均采用直角坐标系。但如果定解区域为圆形、圆柱形或者球形是，采用直角坐标系难以适用，而采用极坐标系、柱坐标系或者球面坐标系。（4.1）(i).圆域9浙江大学数学系作自变量变换10浙江大学数学系演算过程11浙江大学数学系12浙江大学数

3、学系原定解问题转化为（4.2）下面采用分离变量法来求解。为此，令代入，即得分离变量（4.3）13浙江大学数学系（4.4）（4.5）（4.6）（4.7）周期性条件自然边界条件14浙江大学数学系现在求解本征值问题（4.4）-（4.5）其通解为这不是周期函数其通解为这不是周期函数是周期函数其通解为为了满足（4.5），必须15浙江大学数学系本征值为本征函数为代入（4.6）欧拉方程求解方法见书P24-25.16浙江大学数学系特解叠加系数确定正交列17浙江大学数学系18浙江大学数学系的解为圆域上Laplace方程的Poisson公式取圆域上Laplace方程的平均值公式19

4、浙江大学数学系(ii).矩形域其中f(x)是已知的连续函数,且满足f(0)=f(a)=0.求解方法见书P:38,39.双曲正弦:双曲余弦:双曲正切:双曲余切:20浙江大学数学系作业：P53,54.Ex2.6（1）(3)Ex2.10(2)(3)21浙江大学数学系