调整思维方向 另辟解题途径-论文.pdf

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1、调整思维方向另辟解题途径■王梅在数学解题中，发生思维受阻，无法求求解的情况是经常解：由②有Y=一3，代入①整理得一6+9一2=发生的．此时应及时地调整思维策略，运用辩证唯物主义的“对0．立统一，运动变化，相互联系，相互转化”的观点重新审视题目，令常数3=t，代入上式，化为关于t的二次方程xt。常会豁然开朗，寻得见解独到，具有创意的解题途径．一(2x+1)t+(+1)=0．一、不等与相等显然≠0，由求根公式求得：1+或￡：二，即不等与相等既是矛盾的，又是统一的，不等的特殊情况是相等．将不等与相等联系起来，架起它们之间的桥梁，为解题打1

2、+=3或：3．解这两个方程，得=2，，，=2±开通道．．再分别代回②，例1设0、b、c∈R，0+b+c=24，求证口+b+c≤=2-43,6．得分析：观察不等式取等号的条件是Cl,=6=c=2，又由已知，。的立方式联想到不等式+Y+≥3xyz便有以下解法．四、主元与次元在含有两个或多个字母的问题中，常有一个字母处于主要证明：。，+2+2≥3×。×2×2：12a,故口≤．地位(称为主元)，另外一些字母处于次要地位(称为次元)．解同理有6≤，c≤．三个同向不等式相加，有题时从主元分析求解，有时会使思维受阻，此时可考虑变更主次元地位，常会

3、获得意想不到的效果．a++c≤生长=例4设Ⅱ∈R，求关于的二次方程(。。+1)+o一1：0的最大实根和最小实根．二、一般与特殊分析：若用求根公式，求得较大根和较小根的表达式，再分事物的一般性与特殊性是相互联系的．一方面一般性寓于别求它们的最大值和最小值，十分困难．改变思维方向，以n为特殊性之中，并通过特殊性表示出来：另一方面，特殊性也离不主元来分析求解．开一般性，不具有一般性的特殊性是没有的．利用一般与特殊解：关于血整理成X20++(一1)=0．的辩证关系，可使解题思维途径沿正确的方向进行．显然≠0，则由口∈R，知△=一4x(一1)

4、≥0，整理例2求证：当。是任意实数时，曲线C：Y=+龇一。恒成过定点，并求出定点的坐标．(2+)(2一)≤0．解得一5≤≤5证明：曲线过定点(一般)，是通过其中两条曲线的交点(特．殊)来表现的．由此分别令n=0，o=1，将这两条曲线的方程联立．所以最大实根是÷，最小实根是一一J_．五、运动与静止{：3’+：j一。{：’或{：：：．’得到两个交点c，世界上一切事物都是在不断运动变化的，运动是绝对的，静1)和(一1，一1)．止是相对的．据此可知，数学中的定点与动点，定曲线与动曲线，将这两个点的坐标代入曲线G的方程，均适合．已知与未知也都

5、是相对的．运用这种动与静相互转化的观点来所以曲线c恒过定点(1，1)和(一1，一1)．审视问题，常会带来方便，以至收到出奇制胜的效果．三、未知与已知例5如图1，等腰RtAABC的斜边AB长为2，当A、B分别未知与已知是相互关联的，它们的地位不是一成不变的，在轴、Y轴上滑动时，求OC长的最大值．在一定的条件下是可以相互转化的，视已知为未知，未知为已分析：本题若先求动点c的轨迹方程，再求OC长的最大值，知，有时会获得独特的解题思路．十分困难．xy-2=0,现用动静转化观点将AABC固定，原点0运动起来，则点0例s解方程组．，，一0．害在

6、以AB为直径的半圆上．如图2，可见当OC过斜边AB的中点lY解：分别考虑左边两个因式的符号情况．记f()=(n一1)一1，g(x)=一伽～1．易见两个函数的图象都过点(0，一1)又抛物线g(x)开口向上，必与轴一矗：半轴有一个交点(，0)，则当∈(0，2)时，g(x)<0；当∈(2，+∞)时，g()>0(见图3)．图1图2M时，IOCl最大．此时IOCI=lOMl+IMCI=2+1=3．而要使∈(O，+)时，图3，(x)g(x)≥0，男么应使∈(O，2)六、式子与图形时，厂()<0；∈(，+)时()>0．结合图3知，直线，数学中的式

7、子——代数式、方程式、不等式，都与函数密切相关，而函数与其图象又相互对应．这样，可得抽象的式子转化()过点(，o)·由／()=o，得：·为形象直观的图形来认识掌控，从而显化问题，化难为易．再由g‘)=o，化得2口一3。=o，又由图3知。一1>例6(2012年高考浙江卷17题)设o∈R，若>0时，均有[(0—1)一1](一n一1)≥0，贝40=——．0，所以取得o：÷．实际上，辩证思维的方向是多种多样的．在教学中能注意这些辩证思维的启迪、培养，是对学生进行辩证法教育，是提高数学素养的重要方式．江苏省东台中学(2242oo)]构造辅助函

8、数探究解题方法■韩旺鼎造辅助函数即经过适当的数学变化和构造，使一个非函数(2，+。。)时，g()>0，所以g(2)为g()的极小值．所以问题转化为函数形式，然后通过类比、联想、转化，回归到函数问g()≥g(2)=0，所以，()≥0，所