球的体积公式的推导方法-论文.pdf

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1、第28卷第2期西昌学院学报·自然科学版Vol_28．N0．22014年6月JournalofXichangCoUege·NaturalScienceEditionJun．，2014球的体积公式的推导方法冰周明(毫州师范高等专科学校，安徽毫州236800)【摘要】球的体积公式在球的表面积、圆心、球的质量计算等方面都有很大的作用，为此，利用祖啦原理、数列极限、旋转体的体积公式、平面极坐标变换、柱面坐标变换、球面坐标变换等六种方法对球的体积公式进行推导。【关键词】球；体积：公式；方法【中图分类号]o182【文献标识tibiA【文章编号】1

2、673—1891(2014)02—0026—02以坐标原点o(o，0，01为球心，半径为R的球体体的体积之和就是半球的体积。Q：++z2=，其体积公式为设_ri为第个小圆柱体的底面半径(从下向上=数)，因为每个小圆柱体的高都是生；．而球的体积公式在球的表面积、圆心、所以有=t)]一⋯)．球的质量计算等方面都有很大的作用，但对球的体所以=噜积公式推导方法常不被人们重视，为此，本文主要：孚I·一I_利用祖咂原理、数列极限、旋转体的体积公式、平面极坐标变换、柱面坐标变换、球面坐标变换六种方即法对球的体积公式进行推导。⋯=1祖瞻原理法讣++

3、．一十])祖咂原理：夹在两个平行平面间的两个几何一=一n'RJH。一—1—+——2—+——··1·+—("—一——1)l}体，被平行于这两个平行平面的任意平面所截，如果截得两个截面的面积总相等，那么这两个几何体L6(·一n八一H]．的体积相等u。所以将底面半径和高都是的圆柱体q：=《o问，=(++．_‘+)挖去—个底面半径和高都是的圆锥体q：=q训O(n)八(2_一1,1)，所得到的几何体与球体Q：++z2=的上半球放在：兰坐标平面D上，用平面z=(o≤)去截，可得==(R-h)．即：万，所以．：一3旋转体的体积公式法：R．R一R．

4、R3定理由连续曲线=，()，直线=口，x=b以及=三’．3轴所围成的曲边梯形绕轴旋转一周而成的旋转于是得体的体积公式嘲=2兰=：．尸()．32数列极限法球体Q的右半球可以看作是由曲线将球体Q：+：的上半球进行力等分，即用y=厨(0ssR)，直线=0，x=R所围成的扇形绕平行于坐标平面xOy的等距平行平面，把半球切割轴旋转而成的。成11层，每一层都是近似于小圆柱体，这妇个小圆柱所以由旋转体的体积公式可知．球的体积为收稿日期：2014—03—09基金项目：安徽省自然科学研究项目(项目编号：KJ2013Z258)；安徽省教学研究项目(项目

5、编号：P201~yxm595)；数学教育省级特色专业(项目编号：20101184)专项资金资助；亳州师专科研项目(项目编号：BSKY201111，BSKY201113，BSKY201211)专项资金资助。作者简介：周明(1965一)，男，安徽蒙城人，副教授，硕士，主要从事几何学研究。第2期周明：球的体积公式的推导方法·27·=2V=2r(一x则球体n：++=在柱面坐标系下的方程是P+=．=：(一r)因为其上半球n在z轴上的投影区域ozR，(所以上半球在柱面坐标系下的区域为=．0P、／，一≤p石，0<-R．4平面极坐标变换法嘲又因为=

6、础，所以球的体积是球体Q：++=的上半球的方程是=2=2捌ydz曼旧nz=可．2d9dut而球体Q：++z2=在坐标平面xOy上的投：Pdp影区域为=2~R(R2-112)=D：X+v2R2所以球的体积为6球面坐标变换法作球面坐标变换【4]=2作平面极坐标变换J瞄=psm仍则区域：^YR，应变为区域％：o≤po≤≤则球体0：++=在球面坐标系下的方程是P。=R又因为=pdpdtp,所以球的体积，所以球Q在球面坐标系下的区域为=2dxdy0，一刀，一=2llpdpd9：2d~fo"p两dp2．厂＼一一又一一因为,~dydz=PcosO

7、dpdqodO，所以球的体积是=一2C(R一p2)(尺一P)一2pV=』Hdxdyd==一了4R2_p2)：I：=号．O<一VI石一2=dppldpcos9d95柱面坐标变换法4R：一．作柱面坐标变换3总之，本文主要介绍了六种球的体积的推导方{IX=pcos(a=psin法，以便起到抛砖引玉之作用，寻找更多的推导方【z=法。注释及参考文献：【1】商世平．试论刘徽对“祖啦原理”的认识Ⅱ】．河北师范大学学报：(自然科学版)，1987(2)：204—208【2】张圣勤．史历．高等数学IM]．上海：复旦大学出版社，2006：216—217．

8、【3】纪永强．空间解析JL4f[M]．北京：高等教育出版社，2013：275．【4]吕林根．许子道．解析几何[M】．北京：高等教育出版社，2006．DerivationMethodofBallVolumeFormulaZHOUMing