球的体积和表面积公式具体推导过程

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时间:2018-09-22

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1、1..3.2球的体积和表面积(1)教学目的:使掌握了解球的体积公式的推导过程,能记住球的体积公式,并会用公式     解决问题。教学重点:掌握球的体积公式及其应用。教学难点:球的体积公式推导是教学的难点。教学过程一、复习提问柱体、锥体、台体的体积公式分别是什么?二、新课设球的半径为R,将半径OAn等分,过这些分点作平面把半球切割成n层,每一层都是近似于圆柱形状的“小圆片”,这些“小圆片”的体积之和就是半球的体积。  由于“小圆片”近似于圆柱形状,所以它的体积也近似于圆柱的体积。它的高就是“小圆片”的厚度,底面就是“小圆片

2、”的下底面。  由勾股定理可得第i层(由下向上数)“小圆片”的下底面半径:,(i=1,2,3,···,n)第i层“小圆片”的体积为:V≈π·=,(i=1,2,3,···,n)半球的体积:V半径=V1+V2+···+Vn≈{1+(1-)+(1-)+···+[1-]}=[n-](注:)=[n-=)=  ①  当所分的层数不断增加,也就是说,当n不断变大时,①式越来越接近于半球的体积,如果n无限变大,就能由①式推出半径的体积。  事实上,n增大,就越来越小,当n无限大时,趋向于0,这时,有V半径=,所以,半径为R的球的体积为:

3、 V=           1..3.2球的体积和表面积(2)教学目的:使掌握了解球的表面积公式的推导过程,能记住球的表面积公式,并会用     公式解决问题。教学重点:掌握球的表面积公式及其应用。教学难点:球的表面积公式推导是教学的难点。教学过程一、复习提问  柱体、锥体、台体及球的体积的公式是什么?二、新课  球的表面积推导方法(设球的半径为R,利用球的体积公式推导类似方法)(1)分割。把球O的表面分成n个“小球面片”,设它们的表面积分别是S1,S2,……Sn,那么球的表面积为:S=S1+S2+……+Sn  把球心O

4、和每一个“小球面片”的顶点连接起来,整个球体被分成n个以“小球面片”为底,球心为顶点的“小锥体”。例如,球心与第i个“小球面片”顶点相连后就得到一个以点O为顶点,以第i个“小球面片”为底面的“小锥体”。这样“小锥体”的底面是球面的一部分,底面是“曲”的。如果每一个“小球面片”都非常小,那么“小锥体”的底面几乎是“平”的,(好象地球一样),这时,每一个“小锥体”就近似于棱锥,它们的高近似于球的半径R。  (2)求近似和。设n个“小锥体”的体积分别为V1,V2,…,Vn那么球的体积为:V=V1+V2+…+Vn  由于“小锥体

5、”近似于棱锥,所以我们用相应棱锥的体积作为“小锥体”体积的近似值。第i个“小锥体”对应的棱锥以点O为顶点,以点O与第i个“小球面片”顶点的连线为棱。设它的高为hi,底面面积为S’i,于是,它的体积为:V’i=hiS’i,(i=1,2,…,n)这样就有:Vi≈hiS’i,(i=1,2,…,n)V≈(h1S’1+h2S’2+…+hnS’n)        ①(3)转化为球的表面积。分割得越细密,也就是每一个“小球面片”越小,“小锥体”就越接近于棱锥,如果分割无限加细,每一个“小球面片”都无限变小,那么hi(i=1,2,…,n

6、)就趋向于R,S’i就趋向于Si,于是,由①可得:V=RS又V=,所以,有=RS即:   S=4πR2  例5、图1.3-10表示一个用鲜花做成的花柱,它的下面是一个直径为1m,高为3m的圆柱形物体,上面是一个半球体,如果每平方米大约需要鲜花150朵,那么装饰这个花柱大约需要多少朵鲜花(π取3.1)?  分析:花柱的表面积是圆柱的表面积和半球的表面积,求出总面积乘于150朵,就是大约需要的鲜花朵数。练习:P30 1、2、3作业:P31 B组第1题表面积、第3题

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