对抽象函数单调性的教学处理.doc

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1、对抽象函数单调性的教学处理作者：邱晨旭；单位：安徽省蒙城县第六中学；职称：中二摘要：中学课本中虽然没有直接提出抽象函数这个概念，但是在课后练习题中经常出现与抽象函数相关的问题。高考试题中也出现了这种类型的题目。抽象函数之所以经常出现的原因是它高度综合了函数的本质特征，在考查有关函数的概念时，不受具体函数的制约，与具体函数相比较其抽象性更强，灵活性更大。所以，抽象函数是一个难点。关键词：抽象函数；单调性；拆项；所谓的抽象函数就是指没有给出具体解析式，只给出了函数的特殊条件或特征的函数。中学课本中虽然没有直接提出抽象函数这个概念，但是

2、在课后练习题中经常出现与抽象函数相关的问题。高考试题中也出现了这种类型的题目。抽象函数之所以经常出现的原因是它高度综合了函数的本质特征，在考查有关函数的概念时，不受具体函数的制约，与具体函数相比较其抽象性更强，灵活性更大，所以，抽象函数是一个难点。学生遇到这类问题时往往不知从何下手，盲目性的下笔去做，结果正确率很低。听老师讲完解题过程后也是一知半解的状态。课堂上能听得懂，但是自己单独做就做不出来。所以作为一个老师，课堂上不能只是简单地讲述解题过程，而是应该以学生是否理解以及课下能够独立应用为标准。本文对抽象函数单调性的教学做了如下

3、处理，使得接下来的判断抽象函数奇偶性的问题就迎刃而解了。1、型例1、已知函数的定义域是，当时，，且。(1)求的值；(2)试判断在定义域上的单调性。解:(1)；(2)任取，从而，故在上单调递增。分析：在(1)中求的想法是把8拆成2和4的乘积，然后结合求值。要想求的值，就要把a拆成两项之积的形式。从而总结出解决抽象函数的方法是赋值法。第(2)问中的难点就是对的处理。大部分学生根据函数单调性的定义取值做差到这一步的时候无法继续进行下去了。所以我们要指导学生学会如何利用题目中所给的条件处理。由（1）知要处理和，就必须把拆成两项之积的形式。

4、故有。由得到。代入到之后，让学生自己进行比较，拆哪一项比较好，还是两项同时都拆。因为不同的题目需要的拆的项不同，不能一概而论。对这一题，学生会发现只拆一项即可，选择拆哪一项依据题目中的条件“当时，”。这里故我们选拆。若条件更换为“当时，”，此时就应选择拆了。这样避免了对的过度变形，让问题更容易着手，方法上也更容易接受和掌握，也使学生能够将这种方法运用到其他同类型的题目中去。从课堂效果来看，学生根据这种方法很快就解决了下面的例题。2、型例2、已知函数对任何正实数都有，且。当时，。试判断在上的单调性。（先让学生把拆成两项之积的形式，然

5、后让学生按照例1的方法往下继续进行。）解：任取从而故在上单调递减。学生很顺利的就把这题解出来了。并在下一题时跃跃欲试的对进行拆项，但是大部分学生把仍然拆成了两项之积的形式。由此可看学生只是初步感受到了这种方法的好处，但是没有注意到式子结构特征，接下来需要重点评析下面式子结构的特征，让学生动手把拆成两项和的形式。3、型例3、设定义域为R，且对任意，都有，当时有，判断在R上的单调性。解：任取，从而故在R上单调递增。分析：本例中学生出现的错误主要是对的拆项。如果不重视对拆项的练习，这个错误在接下来的解题中会反复出现，所以应让学生自己主动

6、摸索，并在试误之后总结经验和教训，体会拆项的特点。拆项：4、型例4、定义在R上的函数，满足，当时有，判断在R上的单调性。（学生上黑板板书）解：任取，从而故在R上单调递增。学生在解决了例3之后，本题处理的非常快，正确率也很高。从课后反馈情况来看，学生对这种方法的接受程度很高。我们班的学生在接下来的月考测试题中，出现的有关抽象函数单调性判断的题目，正确率也是高于同层次班级。利用这种思维处理抽象函数的奇偶性问题也是相得益彰。打破了学生对抽象函数无处下手的恐惧，使他们对数学更有兴趣和信心。