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1、工程实例机械电子工程谈卓雅一、基于时域有限差分方法求解薛定谔方程在量子力学理论中一维时域薛定谔方程的具体形式如下:(1)式中,参数h-为普朗克常数；m为粒子质量；定义为状态变量;为势函数。在求解含时薛定谔方程时,本文将利用时域数值计算方法——时域有限差分(finitedifferencetimedomain,FDTD)来差分离散薛定谔方程。其基本思想是利用微分方程的中心差分离散形式建立空间和时间上的迭代。时域有限差分法与传统的量子力学计算方法相比更加直观、计算效率更高、操作性更强。因此,该数值方法在量子力学等其他领域中的应用亟待进一步发展与完善。在运用FDTD方法
2、时,数值稳定性条件是首要考虑因素之一,它直接影响着数值计算结果的精度和有效性。本文主要是分析用FDTD方法求解薛定谔方程时所需要满足的稳定性要求,又进一步提出了在不同势能情况下从一维到三维的统一的数值稳定性表达方式。1 薛定谔方程的基本形式将式(1)改写为：（2）为了便于计算,将复函数的实部和虚部分别考虑：（3a）（3b）FDTD方法在时间上的差分格式如下所示：(4)及空间上的差分格式为：(5)同时记,将式(4)与式(5)代入式(3)后化简为：(6a)(6b)由此,利用时间步步的迭代可以算出每时刻的函数值。然而,在实际操作时需要使空间步长Δx及时间步长Δt满足一定
3、的关系以达到数值稳定的目的。2 数值稳定性分析FDTD方法是实现用一组差分方程的解来代替时域薛定谔微分方程的解。只有当差分方程的解是稳定和收敛的,这种代替才有意义。稳定是指寻求一种离散间隔所满足的条件,在此条件下差分方程的数值解与严格解之间的差为有界量即为收敛。因此,FDTD方法中空间步长Δx与时间步长Δt不是相互独立的,以避免数值模拟结果的不稳定性。首先,将函数表示为一维空间变量和时间变量函数的乘积,即,考虑函数随时谐变化：（7）其中的稳态解是下面函数对时间进行一阶偏微分的方程解：（8）将式(8)进行中心差分离散,则（9）式中，。当足够小时，定义数值增长因子化简
4、式（9）为：（10）则式（10）的解为：（11）根据冯·诺依曼的数值稳定性要求,当时间步趋于无穷大,即Δt足够小时,q必须满足
5、q
6、≤1，即（12）此为方程解满足稳定的要求。其次,在量子力学中的一维时间变量的函数值代入薛定谔方程中，简化得到：（13）采用平面波本征模思想，一维空间变量的函数值为，将其代入下面的二阶精度差分近似（14）则得到（15）且在量子力学中，则简化式（15）为（16）结合上述的稳定性要求式（16），可得：（17）考虑到，因此得到最终的稳定性条件为：（18）在取不同势能V值时，稳定性条件也发生变化，下面分情况讨论：当时，稳定性条件为（19）当时，
7、稳定性条件为（20）且其中。本文所采用的稳定性分析方法在时间、空间离散格式上是独立的,所以稳定性条件可以直接推广到三维：（21）二、基于Z变换及模糊加权均值滤波的匀速运动模糊图像恢复传感器成像过程中,记录介质一次积分时间内拍摄目标和摄像机之间的相对运动会造成图像的模糊,给后续运动图像的处理分析带来困难(比如在捕获)。运动模糊图像常用恢复方法有基于时域的差分恢复法及基于频域的逆滤波、维纳滤波、约束去卷积法等。但这些方法都相对比较复杂,一般需要进行大量的矩阵运算,运算速度较慢,且可能由于噪声、近似取值等原因,使得图像质量进一步降低。文献提出了一种基于Z变换的运动模糊图
8、像快速恢复算法,该算法能在保证图像恢复质量的同时,大幅度提高图像恢复运算的速度,基本达到实时的要求。但其最大的缺点是算法的“迭代特性”使得前面像素点的噪声分量会在图像恢复过程中不断放大、累加,影响后续恢复的像素点,使复原图像质量大为下降。为此,有必要在图像恢复过程中,实时地对复原像素点进行修正或平滑滤波处理。常见的图像平滑滤波方法有空间域方法如邻域平均法、中值滤波法和频率域方法如低通滤波法等。但低通滤波法适合对整个图像进行处理,而本文需要实时地对复原点进行滤波处理,因此,较适合应用空间域方法处理;中值滤波法对脉冲噪声有较好的抑制作用,且能较好保留边缘信息,但它的平
9、滑能力较差,这大大限制了其在图像降噪中的应用。均值法对高斯噪声有较好的滤波能力,但由于:(1)在模糊图像恢复过程中产生的噪声点与有效点的差值较大,采用相同权值的均值滤波会造成图像特征边缘的失真。(2)在均值运算中,各个点的权值都一样,当滤波区间中存在奇异点(脉冲噪声)时,奇异点在很大程度上影响滤波效果,且奇异点的存在经均值滤波还会影响、扩散到周围点,故均值滤波对脉冲噪声十分敏感,而恢复过程中的噪声正好符合脉冲噪声的特征。(3)均值滤波没有充分利用邻域内测点间的相关性和测点的位置信息。因此,本文在严格数学推导下,提出一种基于Z变换及模糊加权均值滤波的匀速运动模糊图像
10、恢复算法,
