§8.7用单边z变换解差分方程

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1、§8.7用单边Z变换解差分方程解差分方程的方法：（1）时域经典法（2）卷积和解法（3）Z变换解法1（一）复习Z变换的位移特性若x(n)分别是双边序列、双边左移序列、双边右移序列时，它们的双边和单边Z变换是不同的：（1）双边序列的双边Z变换(p79-p83)2（2）双边左移序列的单边Z变换3（3）双边右移序列的单边Z变换因果序列是右移序列4（4）对于因果序列x(n)5（二）用单边Z变换解差分方程的步骤和思路x(n-r),y(n-k)均为右移序列两边取单边Z变换初始状态若因果信号此项为零6例：完全解里面已含有初始条件7例：完全解8§8.8离散系

2、统的系统函数一、定义：（1）系统零状态响应的Z变换与输入的Z变换之比（2）系统单位样值响应h(n)的Z变换9（1）定义一：系统零状态响应的Z变换与输入的Z变换之比若x(n)是因果序列,则在系统零状态下：请注意这里与解差分有何不同？因果！零状态10（2）定义二：系统单位样值响应h(n)的Z变换激励与单位样值响应的卷积为系统零状态响应由卷积定理11二、对系统特性的影响由极点分布决定系统单位样值响应由极点分布决定系统稳定性由零极点分布决定系统决定系统频率特性（§8.9)12（1）由极点分布决定系统单位样值响应一般为复数它在平面的分布位置决定了系统

3、特性13极点分布对h(n)的影响14（2）由极点分布决定系统稳定性系统稳定的充要条件是单位样值响应绝对可和。即：因果稳定系统的充要条件为：h(n)是单边的而且是有界的。即：因果稳定非因果也可以稳定15离散系统稳定的充是要条件为h(n)绝对可和16对稳定的因果系统收敛域为：全部极点位于单位圆内对于非因果系统，收敛域并不是在圆外区域，极点不限于单位圆内。17例：已知因果系统的系统函数如下：试说明该系统是否稳定？解：临界稳定18例：已知系统函数如下，试说明分别在（1）（2）两种情况下系统的稳定性：（1）（2）解：（1）因果系统，右边序列因果系统但

4、极点在单位圆外，不稳定发散19（2）非因果系统，右序左序有界所以，该非因果系统，但是，是稳定的20作业旧版：8-21（4），8-23（3），8-24（2）新版：同上21§8.8离散系统的频率响应一、什么是离散系统的频率响应？定义一：单位样值响应的傅立叶变换定义二：离散系统在正弦序列作用下的稳态响应二、系统的频率响应的几何确定22定义一：序列的傅立叶变换序列的傅立叶变换：由S_Z的映射来看，当，则，于是相当于自变量沿着z=1单位圆周变化，则：序列的傅立叶正变换23序列的傅立叶反变换序列的傅立叶逆变换24连续信号和离散序列的傅立叶变换的比较连续

5、离散25定义一：系统频率响应即系统单位样值函数的傅立叶变换当h(n)已知时，下列表达式表示系统频率响应函数，是以h(n)为加权系数，对各次谐波进行加权或改变的情况（物理意义）。26系统的激励是时，它的频谱覆盖了的范围于是系统的单位样值响应可以看成对各次的谐波的滤波的总的效果反映了系统对整个频带的滤波作用27定义二：正弦序列及其作用下系统的稳态响应的傅立叶变换之比28因为是周期的，所以也是周期的，其周期为重复频率。29定义二的物理意义把看成无数个窄带滤波器，每个滤波器的幅频特性是，且对信号有相移作用。3031二、系统的频率响应的几何确定32系

6、统的频率响应的几何确定法33由几何法可以看出：（1）z=0处的零极点对幅频特性没有影响，只对相位有影响（2）当旋转某个极点附近时，例如在同一半径上时，较短，则在该点应当出现一个峰值，越短，附近越尖锐。若落在单位圆上，则，则处的峰值趋于无穷大。（3）对于零点则其作用与极点的作用正好相反。34低通高通35带通带阻36全通靠近单位圆周的极点附近有尖峰37例：（8-34）解3839例:(8-23)因果系统的系统函数如下,试说明这些系统是否稳定?因果系统的极点必须在单位圆内解极点在单位圆内,系统稳定。Re[z]jIm[z]40解有一个极点在单位圆外，

7、所以系统不稳定。jIm[z]Re[z]41解有一对共轭极点在单位圆上，所以系统临界稳定。jIm[z]Re[z]42例：（8-29）求如下一阶离散系统的暂态和稳态响应解已知：暂态解稳态解43暂态解稳态解44例：（8-31）已知系统函数如下：求：（1）写出对应的差分方程；（2）画出系统结构图（3）求系统的频率响应，并画出k=0,0.5,1三种情况下系统的幅度响应和相位响应解4546§8.10数字滤波器的基本原理和构成周期频谱连续频谱非周期连续频谱周期频率特性滤波结果加矩形窗4748数字滤波器的构成一般差分方程系统函数49(1)递归式数字滤波器(

8、IIR)(a)直接式50（b）简化直接式51简化直接式的证明：525354(c)级联形式55(d)并联形式56(2)非递归数字滤波器(FIR)梳形滤波器57例：由下列差分方程求出