3差分方程Z变换

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1、第3章线性离散时间系统的描述及分析3.1差分方程及其时域分析3.1.1差分方程3.1.2差分方程的解A递推解B古典解CZ变换求解3.2Z变换3.2.1Z变换的定义3.2.2Z变换的性质3.2.3Z反变换A长除法B留数法C部分分式法3.3离散时间系统的Z域分析3.3.1零输入响应3.3.2零状态响应3.3.3完全响应3.4Z传递函数及其求法3.4.1Z传递函数的定义3.4.2离散系统的运算3.4.3由G(s)求G(z)——连续时间系统的离散化A对G(s)的讨论B对离散化方法的评价C留数法D直接代换法E系统等效法Ⅰ——冲击响应不变法；F系统等效法Ⅱ

2、——阶跃响应不变法G部分分式法3.4.4离散化方法小结3.5线性离散时间系统的稳定性分析3.5.1闭环极点与输出特性之间的关系3.5.2稳定判据3.6线性离散时间系统的频率特性分析法3.6.1线性离散时间系统的频率特性3.6.2线性离散时间系统的频率特性分析法第3章线性离散系统的描述及分析3.1差分方程及其时域分析3.1.1差分方程在线性离散时间动态系统中，输入激励序列u(k)与输出响应序列y(k)之间的动态关系在时域中用差分方程来描述，差分方程一般写成升序方式(2.1)或写成上式表明某一离散时间点上输出值可能与当前时间点上的输入值（当）以及此

3、前若干个输入和输出值有关。推论开来，当前的输出值是“此前”全部激励和内部状态共同作用的“积累”效应。考虑实时控制系统的时间因果律，必须有m≤n。当m=n时，表明当前时刻的输入会直接影响当前时刻的输出，可称为“直传”；当m

4、前时刻的输入有关”。升序意味着超前，与连续时间系统中的微分相对应；当用Z变换法求解差分方程时，升序方式便于考虑初始条件。降序意味着滞后，与连续时间系统中的积分相对应；当用Z变换法求解差分方程时，降序方式无法考虑初始条件。3.1.1差分方程的解例：已知差分方程，其中r(k)=1，k≥0，x(0)=1，x(1)=2试由迭代法求其全解的前5项；分别由古典法求其零输入解yzi(k)、零状态解yzs(k)，以及全解y(k)。给定一个差分方程，根据特定的输入时间序列u(k)和初始条件，来求得其输出序列y(k)，一般有三种方法。A.递推解（迭代解）对式(2.

5、1)差分方程可以写成显然给定初始条件后，就可依次求出各点值。但是，式(2.1)差分方程中的n个初始条件x(0)，x(10)，…x(n-1)仅仅是指“零输入初始条件”，进行递推求解时的初始条件应该是“全解初始条件”；因而应该先求出其“零状态初始条件”，“全解初始条件”是“零输入初始条件”与“零状态初始条件”之和。上例……已知零状态初始条件，由此可递推求得零输入解yzi(k)；可求零输入初始条件，由此可递推求得零状态解yzs(k)；以上初始条件之和为全解初始条件，由此递推即可直接求得全解y(k)=yzi(k)+yzs(k)。A.古典解法1)零输入解

6、在式(2.1)中令输入为零，即u(k)=0，k≥0，则得齐次方程(2.3)类似于在解线性常微分方程时定义的微分算子p，对差分方程定义一个移序（增序）算子d，即(2.4)于是式(2.3)可以表示成以多项式A(d)存在n个单根为例，即，则有零输入解yzi(k)的“通解”式为(2.5)其中C1,C2,...,Cn是由n个（另输入）初始条件决定的n个待定常数。设给定初始条件为y(i)=yi，i=0，1…，n-1，分别代人上式可得(2.6)可简记为矩阵方式以n个单根为例，矩阵D一定可逆。于是可得待定常数为当A(d)存在重根时，亦可得相应结果，不再赘述。上

7、例……求得零输入解yzi(k)。1)零状态解当“零输入初始状态”为零时，为求得式(2.1)在任意输入u(k)激励下的“零状态响应”yzs(k)，首先考虑单位脉冲激励u(k)=d(k)的特殊情况，此时的系统响应为单位脉冲响应，记为h(k)，式(2.1)成为可写成如下形式(2.7)上式中依次令k=-n，-n+1，…，-2，-1，0，可求得前面n+1个点的结果，，当m0时，在式(2.7)中恒有k+m-i>0，即恒有d(k+m-i)=0，此时式(2.7)又成为一个齐次方程，等价为(2.8)上式按差分方程的零输入解法求解，

8、并考虑h(0)=0，即可得到式(2.1)的单位脉冲响应序列h(k)，k≥0。对于一个一般的输入序列u(k)={u(0)，u(1)，u(2)，……}，可