《Z变换和差分方程》PPT课件.ppt

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1、第三节差分方程差分方程是包含关于变量k的序列y（k）及其各阶差分的方程式。是具有递推关系的代数方程，若已知初始条件和激励，利用迭代法可求差分方程的数值解。对于单输入单输出线性定常系统，在某一采样时刻的输出值y(k)不仅与这一时刻的输入值r(k)有关，而且与过去时刻的输入值r(k-1)、r(k-2)…有关，还与过去的输出值y(k-1)、y(k-2)…有关。可以把这种关系描述如下：n—系统的阶次k—系统的第k个采样周期线性定常系统差分方程的一般形式差分方程的定义:差分方程的物理意义1.差分方程给出了沿时间顺序输出量的若

2、干个采样瞬时值与输入量在采样瞬时的值的关系。2.通常，若系统的连续部分是一个n阶的线性环节，则构成离散系统时，其相应的差分方程也是n阶的线性差分方程。3.一个n阶差分方程中，一般包括有n个过去采样瞬时的输出值。典型的采样系统差分方程的求解方法迭代求解迭代法求解示例例题：若描述某离散系统的差分方程为：已知初始条件:求:解：将方程中除y（k）以外的各项都移到等号右边，得：对于类似的依次迭代可得：迭代法的特点思路清楚，便于编写计算程序，能得到方程的数值解。2.但不容易得出输出在采样时刻值的通解。直接求解差分方程是比较困难

3、的，因此考虑到：能否借用类似于拉斯变换的数学方法来简化方程求解？第四节Z变换引入变量：或者写成：S:拉普拉斯变换的算子；Ts:采样周期；Z：一个复变量，定义在Z平面上，称为Z变换算子，记为：采样信号的Z变换：Z［f*(t)]=F(z)F(z)是采样脉冲序列的Z变换，它只考虑了采样时刻的信号值。Z变换的实质将差分方程转为代数方程，简化求解过程。复变量s与z之间的关系，反映了连续函数在s域和离散函数在z域的对应关系。级数求和法部分分式法留数计算法4.2Z变换的方法1.级数求和法将离散函数根据定义展开,然后逐项进行拉斯变

4、换，F*(t)=可得：F(z)=f(0)×1+f(T)Z-1+f(2T)Z-2+f(nT)Z-n例8-1见教材339页例题8－4－1.例8-2求的F(Z)见教材339页例题8－4－2例8-3求解的Z变换。2.部分分式法当连续函数可以表示为指数函数之和时，可以利用这种方法。见教材339页例题8－4－3例8-4求设连续函数f(t)的拉普拉斯变换F(S)及全部极点已知,则可用留数计算法求Z变换.当F(S)具有一阶极点S=P1时,其留数为:当F(S)具有q阶重复极点时,其留数为:4.2.3留数计算法例8-4-5求的Z变换解

5、:例8—6求的Z变换解:两阶重极点!!例8—7下表列出了一些常见函数及其相应的Laplace变换和Z变换，利用此表可以根据给定的函数或其Laplace变换直接查出其对应的Z变换，不必进行繁琐的计算，这也是实际中广泛应用的方法。常用函数的Z变换（见教材341页表8－4－1）1、线性定理2、滞后定理3、初值定理4、终值定理5、超前定理6、复数偏移定理4.3Z变换的基本定理（p342）1、线性定理设：则：函数线性组合的Z变换，等于各函数Z变换的线性组合。2、滞后定理设在t<0时连续函数f(t)的值为零，其Z变换为F（Z）

6、则:原函数在时域中延迟几个采样周期，相当于在象函数上乘以z-k,算子z-k的含义可表示时域中时滞环节，把脉冲延迟k个周期。3、初值定理设函数f(t)的Z变换为F（z），并且存在，则4、终值定理设函数f(t)的Z变换为F（z），并且（1-z-1）F(z)在以原点为圆心的单位圆上和圆外均无极点，则有经常用于分析计算机系统的稳态误差！！5、超前定理设函数f(t)的Z变换为则：若则：6、复数偏移定理设函数f(t)的Z变换为F（Z），则长除法（幂级数展开法）部分分式法留数法（反演积分法）4.4Z反变换Z反变换是:已知Z变换表

7、达式F(Z)f(nT)的逆过程.要点：将F（Z）用长除法变化为降幂排列的展开形式。4.4.1长除法（幂级数法）Z反变换为:也即：例8—8求的Z反变换解：步骤：①先将变换式写成，展开成部分分式，③查Z变换表②两端乘以Z4.4.2部分分式法（因式分解法，查表法）例8—9求的Z反变换解：①②③函数F(z)zn-1在极点Zi处的留数曲线C可以是包含F(z)zn-1全部极点的任意封闭曲线若Zi为一重极点:若Zi为q重极点:3.留数法（反演积分法）例8—10求的Z反变换解：有两个一重极点例8—11求的Z反变换解：有一个两重极

8、点用Z变换解二阶差分方程用Z变换法求解下列二阶差分方程：对上式两边取Z变换，得代入初始条件，得查表，得用Z变换法求解下列二阶差分方程：根据Z变换的定义有：￡［u(n)］=1对上述差分方程进行Z变换，代入初始条件，得：（Z2-3Z+2)C(z)=1查表无法获得上面两个分式对应的值，但是因为：根据Z变换的性质有：￡［c(n+1)］=Zc(z)-zc(0),C(n