专题：基本不等式.docx

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1、专题：基本不等式基本不等式求最值利用基本不等式求最值：一正、二定、三等号．三个不等式关系：（1）a，b∈R，a2＋b2≥2ab，当且仅当a＝b时取等号．（2）a，b∈R＋，a＋b≥2，当且仅当a＝b时取等号．（3）a，b∈R，≤()2，当且仅当a＝b时取等号．上述三个不等关系揭示了a2＋b2，ab，a＋b三者间的不等关系．其中，基本不等式及其变形：a，b∈R＋，a＋b≥2(或ab≤()2)，当且仅当a＝b时取等号，所以当和为定值时，可求积的最值；当积为定值是，可求和的最值．【题型一】利用拼凑法构造不等关系【典例1】（

2、扬州市2015—2016学年度第一学期期末·11）已知且，则的最小值为.【解析】∵且∴，解得或，∵∴，即．．练习：1．（南京市、盐城市2015届高三年级第一次模拟·10）若实数满足，且，则的最小值为．解析：由log2x+log2y=1可得log2xy=1=log22，则有xy=2，那么=第13页共13页=（x－y）+≥2=4，当且仅当（x－y）=，即x=+1，y=－1时等号成立，故的最小值为4．2.（苏北四市（徐州、淮安、连云港、宿迁）2017届高三上学期期末）若实数满足，则的最小值为．3.（无锡市2017届高三上学

3、期期末）已知，且，则的最小值为.【典例2】（南京市2015届高三年级第三次模拟·12）已知x，y为正实数，则＋的最大值为．解析：由于＋===1+=1+≤1+=，当且仅当4=，即y=2x时等号成立．【典例3】若正数、满足,则的最小值为__________.解析：由,得,解得(当且仅当且,即时,取等号).变式：1.若,且满足,则的最大值为_________.解析：因为,所以由,第13页共13页,解得(当且仅当且,即时,取等号).2.设，，则的最小值为_______43.设，，则的最大值为_________4.（苏北四市（

4、淮安、宿迁、连云港、徐州）2017届高三上学期期中）已知正数，满足，则的最小值为【题型二】含条件的最值求法【典例4】（苏州市2017届高三上期末调研测试）已知正数满足，则的最小值为练习1．（江苏省镇江市高三数学期末·14）已知正数满足，则的最小值为.解析：对于正数x，y，由于+=1，则知x>1，y>1，那么+=（+）（1+1－－）=（+）（+）≥（+）2=25，当且仅当·=·时等号成立．2.（2013~2014学年度苏锡常镇四市高三教学情况调查（一）·11）已知正数满足，则的最小值为．解析：，当且仅当时，取等号．故答

5、案为：9．第13页共13页3．（南通市2015届高三第一次调研测试·12）已知函数的图像经过点，如下图所示，则的最小值为.解析：由题可得a+b=3，且a>1，那么+=（a－1+b）（+）=（4+++1）≥（2+5）=，当且仅当=时等号成立．4．（江苏省苏北四市2015届高三第一次模拟考试·12）己知a，b为正数，且直线与直线互相平行，则2a+3b的最小值为________．【解析】由于直线ax+by－6=0与直线2x+（b－3）y+5=0互相平行，则有=，即3a+2b=ab，那么2a+3b=（2a+3b）·=（2a+

6、3b）（+）=++13≥2+13=25，当且仅当=，即a=b时等号成立．5.常数a，b和正变量x，y满足ab＝16，＋＝.若x＋2y的最小值为64，则ab＝________.答案：64；(考查基本不等式的应用).第13页共13页6.已知正实数满足，则的最大值为．答案：【题型三】代入消元法【典例5】（苏州市2016届高三调研测试·14）已知，，则的最小值为．解析：由得，令则当且仅当即等号成立．第13页共13页练习1．（江苏省扬州市2015届高三上学期期末·12）设实数x，y满足x2＋2xy－1＝0，则x2＋y2的最小值

7、是．解析：由x2＋2xy－1＝0可得y=，那么x2＋y2=x2＋=x2+－≥2－=－，当且仅当x2=，即x4=时等号成立．2．（苏州市2014届高三调研测试·13）已知正实数x，y满足，则x+y的最小值为．解析：∵正实数x，y满足xy+2x+y=4，∴（0＜x＜2）．∴x+y=x+==（x+1）+﹣3，当且仅当时取等号．∴x+y的最小值为．故答案为：．3．（南通市2014届高三第三次调研测试·9）已知正实数满足，则的最小值为．第13页共13页解析：∵正实数x，y满足（x﹣1）（y+1）=16，∴，∴x+y=，当且仅当

8、y=3，（x=5）时取等号．∴x+y的最小值为8．故答案为：8．4.（扬州市2017届高三上学期期中）若，且，则使得取得最小值的实数=。5.设实数x、y满足x＋2xy－1＝0，则x＋y的取值范围是_________6.已知，且，，求的最大值为______【题型四】换元法【典例6】（南京市、盐城市2016届高三年级第二次模拟考试·13）已知函数f