专题12 基本不等式及其应用

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1、基本不等式及其应用2.(2010·山东卷)若对任意x>0，≤a恒成立，则a的取值范围是.解析：因为x>0，所以x+≥2(当且仅当x=1时取等号)，所以有，即的最大值为，故a≥.例1：(1)已知x＜，求函数y=4x-2+的最大值；(2)已知x＞0，y＞0，且+=1，求x+y的最小值；(3)求y=的最小值．分析：创造应用基本不等式的条件，合理拆添项或配凑因式是常用的解题技巧，而拆与凑的前提在于使等号成立的条件；求条件极值的问题，基本思想是借助条件化二元函数为一元函数，代入法是最基本的方法，代换过程中要密切注意字母隐含的取值范围；函数y=bx+

2、(a>0，b>0，为常数)的单调性与极值(或值域)要了解，并能在解题时灵活运用，特别是当问题不能满足均值不等式的条件之一“取等”时．解析：(1)因为x＜，所以5-4x＞0，所以当且仅当5-4x=，即x=1时，上式等号成立，故当x=1时，ymax=1.(2)因为x＞0，y＞0，+=1，所以x+y=(x+y)(+)=++10≥6+10=16.当且仅当=时，上式等号成立，又+=1，所以x=4，y=12时，(x+y)min=16.(3)=．此时，不能使用基本不等式，等号取不到．利用“对勾”函数的单调性解决，即当x=0时，得其最小值为.【点评】(1

3、)用基本不等式求函数的最值时，关键在于将函数变形为两项和或积，然后这两项的积或和或平方和为定值，然后用基本不等式求出最值；(2)在条件最值中，一种方法是消元转化为函数最值，另一种方法是将要求最值的表达式变形，然后用基本不等式使要求最值的表达式放缩为一个定值；(3)不管哪种题，哪种方法，求最值时要验证等号是否成立．变式1.(1)若-4＜x＜1，则的最大值为__________；(2)若a，b，c>0，且a2+ab+ac+bc=4，则2a+b+c的最小值为__________．(3)已知0

4、___．解析：(1)=·=[(x-1)+]=-[-(x-1)+]．因为-4＜x＜1，所以-(x-1)＞0，＞0.从而[-(x-1)+]≥2，所以-[-(x-1)+]≤-1，当且仅当-(x-1)=，即x=2(舍)或x=0时取等号．即()max=-1.(2)由a2+ab+ac+bc=4，分解因式得(a+b)(a+c)=4，所以2a+b+c=(a+b)+(a+c)≥2=2=4.(3)因为0

5、：注意到三个分数的分母之和为定值3，故证明时可在不等式两边同时加3使用基本不等式，也可以通过换元法给出问题的另证．证明：证法1：++≥2+2+2-3=3，得证．证法2：令a=1-x+y＞0，b=1-y+z＞0，c=1-z+x＞0，则证明原不等式等价于证明++≥3，其中a、b、c＞0，且a+b+c=3.因为(a+b+c)(++)=3+(+)+(+)+(+)≥3+2+2+2=9，即3(++)≥9，所以++≥3.变式2.设a、b为正实数，且a+b=1.(1)求证：ab+≥4；(2)探索、猜想：将结果填在括号内：a2b2+≥()；a3b3+≥()

6、；(3)由(1)、(2)你能归纳出更一般的结论吗？并证明你给出的结论．解析：(1)因为a>0，b>0，所以1=a+b≥2，当且仅当a=b=时等号成立，即00，b>

7、0，所以1=a+b≥2(当且仅当a=b=时等号成立)，所以0

8、件，但不一定要得到定值，也不一定要取到等号，因为证明不等式只需要利用条件能推出结论，而不一定要等价变形．例3：某加工厂需定期购买原材料，已知每公斤原材料的价格为1.5元，每次购买原材料需支付运