中学平面几何《有关三角形五心》的试题分析讲解.doc

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1、中学平面几何《有关三角形五心》的试题分析一、垂心三角形三条高的交战，称为三角形的垂心.由三角形的垂心造成的四个等(外接)圆三角形，给我们解题提供了极大的便利.例1．设A1A2A3A4为⊙O内接四边形，H1，H2，H3，H4依次为△A2A3A4，△A3A4A1，△A4A1A2，△A1A2A3的垂心.求证：H1，H2，H3，H4四点共圆，并确定出该圆的圆心位置.(1992，全国高中联赛)分析：连接A2H1，A1H2，H1H2，记圆半径为R.由△A2A3A4知=2RA2H1=2Rcos∠A3A2A4；由△A1A3A4得A1H2=2Rcos∠A3A1A4

2、.但∠A3A2A4=∠A3A1A4，故A2H1=A1H2.易证A2H1∥A1A2，于是，A2H1A1H2，故得H1H2A2A1.设H1A1与H2A2的交点为M，故H1H2与A1A2关于M点成中心对称.同理，H2H3与A2A3，H3H4与A3A4，H4H1与A4A1都关于M点成中心对称.故四边形H1H2H3H4与四边形A1A2A3A4关于M点成中心对称，两者是全等四边形，H1，H2，H3，H4在同一个圆上.后者的圆心设为Q，Q与O也关于M成中心对称.由O，M两点，Q点就不难确定了.例2．H为△ABC的垂心，D，E，F分别是BC，CA，AB的中心.一

3、个以H为圆心的⊙H交直线EF，FD，DE于A1，A2，B1，B2，C1，C2.求证：AA1=AA2=BB1=BB2=CC1=CC2.(1989，加拿大数学奥林匹克训练题)分析：只须证明AA1=BB1=CC1即可.设BC=a，CA=b，AB=c，△ABC外接圆半径为R，⊙H的半径为r.连HA1，AH交EF于M.A=AM2+A1M2=AM2+r2-MH2=r2+(AM2-MH2)，①又AM2-HM2=(AH1)2-(AH-AH1)2=AH·AH1-AH2=AH2·AB-AH2=cosA·bc-AH2，②而=2RAH2=4R2cos2A,=2Ra2=4

4、R2sin2A.∴AH2+a2=4R2，AH2=4R2-a2.③由①、②、③有A=r2+·bc-(4R2-a2)=(a2+b2+c2)-4R2+r2.同理，=(a2+b2+c2)-4R2+r2，=(a2+b2+c2)-4R2+r2.故有AA1=BB1=CC1.二、内心三角形内切圆的圆心，简称为内心.对于内心，要掌握张角公式，还要记住下面一个极为有用的等量关系：设I为△ABC的内心，射线AI交△ABC外接圆于A′，则有A′I=A′B=A′C.换言之，点A′必是△IBC之外心(内心的等量关系之逆同样有用).例3．ABCD为圆内接凸四边形，取△DAB，

5、△ABC，△BCD，△CDA的内心O1，O2，O3，O4.求证：O1O2O3O4为矩形.(1986，中国数学奥林匹克集训题)证明见《中等数学》1992；4例4．已知⊙O内接△ABC，⊙Q切AB，AC于E，F且与⊙O内切.试证：EF中点P是△ABC之内心.(B·波拉索洛夫《中学数学奥林匹克》)分析：在第20届IMO中，美国提供的一道题实际上是例8的一种特例，但它增加了条件AB=AC.当AB≠AC，怎样证明呢？如图，显然EF中点P、圆心Q，BC中点K都在∠BAC平分线上.易知AQ=.∵QK·AQ=MQ·QN，∴QK===.由Rt△EPQ知PQ=.∴P

6、K=PQ+QK=+=.∴PK=BK.利用内心等量关系之逆定理，即知P是△ABC这内心.三、旁心三角形的一条内角平分线与另两个内角的外角平分线相交于一点，是旁切圆的圆心，称为旁心.旁心常常与内心联系在一起，旁心还与三角形的半周长关系密切.例5．在直角三角形中，求证：r+ra+rb+rc=2p.式中r，ra，rb，rc分别表示内切圆半径及与a，b，c相切的旁切圆半径，p表示半周.(杭州大学《中学数学竞赛习题》)分析：设Rt△ABC中，c为斜边，先来证明一个特性：p(p-c)=(p-a)(p-b).∵p(p-c)=(a+b+c)·(a+b-c)=[(a

7、+b)2-c2]=ab；(p-a)(p-b)=(-a+b+c)·(a-b+c)=[c2-(a-b)2]=ab.∴p(p-c)=(p-a)(p-b).①观察图形，可得ra=AF-AC=p-b，rb=BG-BC=p-a，rc=CK=p.而r=(a+b-c)=p-c.∴r+ra+rb+rc=(p-c)+(p-b)+(p-a)+p=4p-(a+b+c)=2p.由①及图形易证.例6．M是△ABC边AB上的任意一点.r1，r2，r分别是△AMC，△BMC，△ABC内切圆的半径，q1，q2，q分别是上述三角形在∠ACB内部的旁切圆半径.证明：·=.(IMO-1

8、2)分析：对任意△A′B′C′，由正弦定理可知OD=OA′·=A′B′··=A′B′·，O′E=A′B′·.∴.亦即有·===.四、众心