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《平面几何：有关三角形五心的经典考题及证明(中考提分助力)》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、平面几何：有关三角形五心的经典试题三角形的外心、重心、垂心、内心及旁心，统称为三角形的五心.——、夕卜尤'・三角形外接圆的圆心，简称外心•与外心关系密切的有圆心角定理和圆周角定理.例1.过等腰△ABC底边BC上一点P引PM//CA交ABTM；引PN//BA交AC于N.作点P关于M2的对称点P・试证：Pf点在△4BC外接圆上.（杭州大学《中学数学竞赛习题》）分析：由已知可得MP二MP二MB,NPr=NP二NC,故点M是BP的外心，点N是PC的外心.有ZBPfP二L/BMP二丄ZBAC,22ZPPfC二丄ZPNC二丄ZB4C.22・ZBPrC二ZBP'P+ZP
2、'PC二/BAC.从而，P'点与A,B,C共圆、即P在ZVIBC外接圆上.由于pp平分/BP'C,显然述有PfB:P‘OBP:PC.例2.在△ABC的边AB,BC,CA上分别取点P,Q,S.证明以△APS,bBQP,△CSQ的外心为顶点的三角形与AABC相似.（B•波拉索洛夫《中学数学奥林匹克》）分析：设0],。2，。3是AAPS,'BQP,△CSQ的外心，作出六边形OiPCQOsS后再由外心性质可知ZP0{S=2ZAfZQO2P=2ZB9ZSO3Q=2ZC.••・ZPO
3、S+ZQO2P+ZSO3Q二360°.从而乂知/0屮。2+ZO2QO3+ZO3SO1二
4、360°将△O2QO3绕着。3点旋转到厶KS（h，易判断△KSOi竺厶O2PO，同时可得△OQ2O3竺△0闪。3・2^O2OOy—X.KOOy——ZO・O]K'2二*(ZO2O1S+ZSO1K)二丄(ZO2O1S+ZPOQ2)2「「冷"。皿；同理有Z01。2。3二z3.故△0102O3s△4BC.二、重心三角形三条中线的交点，叫做三角形的重心•掌握重心将每条中线都分成定比2:1及中线长度公式，便于解题.例3.AD,BE,CF是厶ABC的三条中线，P是任意一点•证明：在厶PAD,△PBE,APCFH*,其屮一个面积等于另外两个面积的和.（第26届莫斯科数
5、学奥林匹克）分析：设G为△ABC重心，直线PG与A3,BC相交.从A,C,D,E,F分别作该直线的垂线，垂足为A',C',D‘，E‘，F'・b易证AA'=2DDf,CCf二2FF',2EE，W:.EEf二DD‘+FFf・右S“pgFS^pgd+S“pgf・两边各扩人3倍，有Shpbe=S“pad+Shpcf・例4.如果三角形三边的平方成等差数列，那么该三角形和由它的三条屮线围成的新三角形相似•其逆亦真.分析：将/MBC简记为△,由三中线AD,BE,CF围成的三角形简记为△'・G为重心，连DE到使EH二DE,连〃C,HF,则△'就是AWCF.⑴/,p,/成等差
6、数歹ij=>Zs/v.若△ABC为正三角形，易证△s/V.不妨设a2b2c,有CF二丄血2+2/异-，,2BE亠2疋+2卅-X,2AD=-^2h-+lc2-a2.2将/+/二2沪，分别代入以上三式，得cua/3V3,AnV3CF-——a,BE=——b,AD-——c.2222•:CF:BE:AD=a:b:c.故有△s/V・(2)/s/V=>/,b2,c?成等差数列.当△中a三b三c时，△'41CF^BE^AD・.•.鱼=(空)2.Sa=>a2+c2=2b2.三、垂心三角形三条高的交战，称为三角形的垂心.由三角形的垂心造成的四个等（外接）圆三角形，给我们解题
7、提供了极大的便利.例5・设人1仏4皿为内接四边形，H],型，弘，仏依次为AA2A3A4,△AyU4i，△A4A1A2，AAiA2A3的垂心.求证：H],乩，日3，弘四点共圆，并确定岀该圆的圆心位置.AiO人4（1992,全国高中联赛）分析:连接A2/7i，A】H2,HE记圆半径为R.rtlAA2A^4知AH"一!=2/?=>A2/7i-2/?cosZA3A2AA3sinZA2A3H}A]//2二2/?cosZA3A1A4.但故血厲二人1日2・易证A2H}//AyA2,于是，A2H^AxH2,故得H}H2设丹内与H；仏的交点为M,故川弘与4*2关于M点成中心对
8、称.同理，H2H3与血再，H3H4与加幻，W4Wi与/Mi都关丁M点成中心对称.故四边形H1H2H3H4与四边形尙去如去关于M点成中心对称，两者是全等四边形，H,H2,H3,屁在同一个圆上后者的圆心设为Q，Q与O也关于M成中心对称•由O,M两点，Q点就不难确定了.例6.H为厶ABC的垂心，D,E,F分别是BC,CA,AB的中心.一个以H为鬪分析:心的OH交肓线EF,FD,DETAif求证：A,=AA2=SB!=BB2=CC1=CC2.(1989,加拿大数学奥林匹克训练题)只须证明AA}=BB}=CC}即可•设BC=a,CA=/?,AB二c,AABC夕卜接圆
9、半径为/?,OH的半径为匕连/Mi，AH交EF于M.
