2012年考研数学春季基础班线性代数讲义(汤家凤).pdf

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1、课程配套讲义说明1、课程名称2012年考研数学春季基础班线性代数2、课程内容此课程讲授线性代数基础阶段内容，通过梳理知识，使学员掌握整体知识脉络，掌握各个知识点，了解考试重难点。3、主讲师资汤家凤——主讲高等数学、线性代数。著名考研辅导专家，南京大学博士，南京工业大学教授，江苏省大学生数学竞赛优秀指导教师。凭借多年从事考研阅卷工作的经验，通过自己的归纳总结，在课堂上为学生列举大量以往考过的经典例子。深入浅出，融会贯通，让学生真正掌握正确的解题方法。4、讲义：18页（电子版）文都网校2011年3月28日1第一讲行列式一、

2、基本概念定义1逆序—设i,j是一对不等的正整数，若ij，则称(i,j)为一对逆序。定义2逆序数—设iii是1,2,,n的一个排列，该排列所含的逆序总数称为该排列的逆12n序数，记为(iii)，逆序数为奇数的排列称为奇排列，逆序数为偶数的排列称为偶排12n列。aaa11121naaa221222n定义3行列式—由n个数组成的下列记号D称为n阶行列式，规定aaan1n2nnD(1)(j1j2jn)aaa。1j12j2njnj1j2jnaaa11121naaa21222n定义4余子

3、式与代数余子式—把行列式D中元素a所在的i行元ijaaan1n2nn素和j列元素去掉，剩下的n1行和n1列元素按照元素原来的排列次序构成的n1阶行ij列式，称为元素a的余子式，记为M，称A(1)M为元素a的代数余子式。ijijijijij二、几个特殊的高阶行列式a0010a021、对角行列式—形如，称为对角行列式，对角行列式等于其对角线上元00an素之积。2、上（下）三角行列式—称aaaa0011121n110aaaa0222n2122及为上三角行列式和下三角行

4、00aaaannn1n2nn列式，它们都等于主对角线上的元素之积。3、范得蒙行列式—形如2111aaa12nV(a,a,,a)称为n阶范得蒙行列式，且12nn1n1n1aaa12n111aaa12nV(a1,a2,,an)(aiaj)。1jinn1n1n1aaa12n三、行列式的性质（一）把行列式转化为特殊行列式的性质T1、行列式与其转置行列式相等，即DD。2、对调两行（或列）行列式改变符号。3、行列式某行（或列）有公因子可以提取到行列式的外面。推论

5、：（1）行列式某行（或列）元素全为零，则该行列式为零。（2）行列式某两行（或列）相同，行列式为零。（3）行列式某两行（或列）元素对应成比例，行列式为零。4、行列式的某行（或列）的每个元素皆为两数之和时，行列式可分解为两个行列式，即aaaaaaaaa11121n11121n11121nabababaaabbb。i1i1i2i2inini1i2ini1i2inaaaaaaaaan1n2nnn1n2nnn1n2nn5、行列式的某行（或列）的倍数加到另

6、一行（或列），行列式不变，即aaaaaa11121n11121naaaakaakaakai1i2ini1j1i2j2injn，其中k为任意常数。aaaaaaj1j2jnj1j2jnaaaaaan1n2nnn1n2nn（二）行列式降阶的性质6、行列式等于行列式某行（或列）元素与其对应的代数余子式之积的和，即DaAaAaA(i1,2,,n)，i1i1i2i2ininDaAaAaA(j1,2,,n)。1j1j2j2jnjnj7

7、、行列式的某行（或列）元素与另一行（或列）元素的代数余子式之积的和为零。四、行列式的应用—克莱姆法则3a11x1a12x2a1nxn0a21x1a22x2a2nxn0对方程组（I）及axaxax0n11n22nnna11x1a12x2a1nxnb1a21x1a22x2a2nxnb2（II）axaxaxbn11n22nnnn其中(II)称为非齐方程组，(I)称为(II)对应的齐次方程组或(II)的导出方程组。aaabaaaa

8、b11121n1121n11121aaabaaaab21222n2222n21222令D,D,,D，其中D1naaabaaaabn1n2nnnn2nnn1n2n称为系数行列式，我们有定理1(I)只有零解的充分必要条件是D0；(I)有非零解（或者(I)有无穷多个解）的充分必要条件是D0