谈谈中学数学证明.pdf

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1、本刊专稿BENKANZHUANGAOtantanzhongxueshuxuezhengming谈谈中学数学证明◎郭民（东北师范大学数学与统计学院130024）◎张效锋（吉林省白城市教育学院137000）【摘要】数学证明首先在几何学领域里开始，公元前3世纪上的科学杰作是如此的严密而系统，以至于在非欧几产生的欧几里德《几何原本》在两千多年的时间里一直是数学证何出现之前，两千多年的时间里，人们原则上已不能也明的范例.罗巴切夫斯基几何学的产生，使人们对数学证明的不需要对它再增加什么新的东西，几何学教科书也不认识大大加深，并随之

2、产生了现代公理体系.数学证明在本质过是《几何原本》的通俗改写而已.欧几里德在他的《几上是一种方法论.学生学习欧氏几何、经过这种论证方法的训何原本》中，先列出了一些定义、公理和公设，而后应用练，其作用不限于几何学、甚至不限于数学，对于学生学习其他逻辑推理导出全部定理，构造出了一个循序渐进的、前学科，对于学生未来走向社会都是很有益处的，这便是其教育价后一贯的、无矛盾的、有根据的、确定的体系，使几何学值所在.实现了由感性认识到理性认识的飞跃，数学证明也正【关键词】数学证明方法论实验证明教育价值是在《几何原本》中被确立和大量使

3、用.《几何原本》中的第五公设是平行线公理，这一公理不像其他公理那一、数学证明的历史发展样显然，因而，自《几何原本》问世以来，许多数学家都我们知道，从一组原始概念和命题（即公理）出发，企图证明第五公设.然而，这一企图都以失败而告终，经过逻辑推理得到一系列的定理和证明，这一直是数直到1826年，俄罗斯数学家罗巴切夫斯基才解决了这学学科所遵循的研究模式.但随着现代数学的发展，特一问题.别是电子计算机的出现，人们对上述研究模式产生了罗巴切夫斯基的做法是：保留其他公理，以第五公怀疑.其中最典型的一个例子就是所谓“四色问题”的设的

4、负判断来代替第五公设，而后进行逻辑推理，从而证明.得出一系列深刻的结果，也构造出了一个循序渐进的、1852年，英国数学家F·Guthrie（格思里）在给他弟前后一贯的、无矛盾的、有根据的、确定的体系.这就是弟的一封信中说：“看来每幅地图若用不同颜色标出邻一种新的几何学——罗巴切夫斯基几何学.由于罗巴国，只要用四种颜色就够了.”这就是“四色问题”的由切夫斯基几何学找不到欧几里德几何那样的现实意来.一百多年来数学家们不断努力企图用数学方法来义，所以罗巴切夫斯基把它称为“虚拟的几何学”.罗巴证明这个结论.直到1976年美国两

5、位计算机专家切夫斯基几何学的产生，使人们看到欧几里德几何的K·Appel（阿佩尔）和W·Haken（哈肯）找到了一种新的逻辑结构并不是十全十美的.这在数学界引起了极大计算方法.他们用了三台IBM计算机经过1000多个小的震动.本来微积分缺少逻辑基础这一事实就使数学时（约52天）的运算，“证明”了格思里提出的结论是正家们感到不安，欧几里德几何基础的动摇则更加剧了确的.因此，“四色问题”得到了“证明”.这种不安，于是，在1850年左右，数学家们对于“数学数学证明最早是在几何学这个领域里开始的，后证明”这件事，几乎陷入了绝望

6、的境地.数学证明应该来，也是由于几何学领域里的问题所推动，数学证明才在怎样的基础上进行？数学学科应该建立怎样的逻辑经历了深刻的变化.几何学是在数千年之前由于人类基础？等等问题引起数学家们的深入思考.生活的需要而产生的，并在中国和古埃及都取得了很在19世纪后半期，数学家们为了使他们的学说建大的发展，在古埃及，由于尼罗河经常泛滥，冲毁田地立合适的逻辑基础，开展了一场名为批判的运动，从波的界线，洪水过后，要重新测量，确定田地界线.几何学尔察诺和柯西开始，又维尔斯特拉斯、戴狄金、康托、皮就起源于这种测地术.“几何学”这一名词，

7、在拉丁文或亚诺等人继续对算术、代数和数学分析给予了一个公理希腊文中都含有“测地术”的意思.古埃及还有金字塔基础.希尔伯特等人的工作，则是给予欧几里德几何一那样的宏伟建筑，埃及人积累了十分丰富的几何知识，个更好的公理基础，并确立了数学研究的现代公理法.并把这些几何知识记载在“阿赫美斯手册”中.总之，数学证明首先在几何学领域里开始，公元前古代希腊在同埃及通商和希腊学者到埃及留学的3世纪产生的欧几里德《几何原本》在两千多年的时间过程中，学到了埃及的几何学并传到了希腊，几何学在里一直是数学证明的范例.罗巴切夫斯基几何学的产希腊

8、得到了新的发展，由于古希腊的哲学思想活跃，形生，使人们对数学证明的认识大大加深，并随之产生了式逻辑已确定为一门科学，使得丰富的几何知识开始现代公理体系.向数学理论转化.公元前五世纪，几何学的系统叙述已二、数学证明的本质在希腊出现，到公元前三世纪，欧几里德集前人之大一般来说，数学能力应该包括逻辑推理能力、计算成，写成名为《几何原本》